利用IDL计算马氏距离

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马氏距离

马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺度。对于一个均值为μ，协方差矩阵为∑的多变量向量，其马氏距离为(x−μ)T∑−1(x−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−√。摘自百度百科

x为一维或多维向量，假定为n维向量，并有m个样本（x1,x2,x3,⋯,xm），那么向量μ即为样本集合的均值。向量x1与向量μ之间的马氏距离可采用公式(x1−μ)T∑−1(x1−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−√计算，将μ替换为xi即为x1与xi之间的马氏距离。关于欧氏距离与马氏距离的区别，Simon’s Blog写过一篇文章可参考。

假定向量x为2维向量，共有4个样本数据，数据源用矩阵a表示如下：

a=[34561089256]

下面利用IDL求解x1=[34]与x2=[56]的马氏距离。

• 协方差矩阵∑的计算
• 矩阵逆的计算
• 马氏距离的计算

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协方差矩阵

协方差矩阵∑的计算

;IDL代码;输入：a矩阵（n行m列），n代表数据的维度，m代表数据的样本数。;输出：a的协方差矩阵cov，为n行n列的方阵。a  = float([[3,4],[5,6],[10,89],[25,6]])n  = n_elements(a[0,*])m  = n_elements(a[*,0])cov= fltarr(n,n)for i = 0, n-1 do begin  for j = i, n-1 do begin    x = total((a[*,i] - mean(a[*,i]))*(a[*,j] - mean(a[*,j])))/(m - 1)    cov[i,j] = x    cov[j,i] = x  endforendfor

输入：a矩阵如下

a=[34561089256]

输出：协方差矩阵cov如下

cov=[98.9167−15.5833−15.58331750.92]

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协方差矩阵的逆

计算协方差矩阵的逆∑−1，可采用MATRIX_POWER函数进行计算。关于逆矩阵的计算方法可以参考百度文库文章“逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)”。

;IDL代码vcov = MATRIX_POWER(cov,-1,status=sta)

矩阵cov−1如下

cov−1=[0.01012379.01021e−0059.01021e−0050.000571931]

马氏距离的计算

令向量z=x1−x2=[−2−2], zT=[−2−2]，x1与x2之间的马氏距离位Dm。

;IDL代码z = [[3],[4]] - [[5],[6]]print,z      -2      -2zt = transpose(z)dm = 0.0for k = 0, 1L do begin  dm += total(zt*reform(vcov[k,*]))*z[0,k]endforprint,"dm=",dm^0.5dm=     0.208575

数据源矩阵a中xi与xj之间的马氏距离如下：
(0,1)=0.208575
(0,2)=2.17612
(0,3)=2.21587
(1,2)=2.06589
(1,3)=2.01233
(2,3)=2.44817

结果与MATLAB计算结果相同。见cau228charm在CSDN论坛的发文

>> x=[3,4;5,6;10,89;25,6]x =     3     4     5     6    10    89    25     6>> d=pdist(x,'mahalanobis')d =    0.2086    2.1761    2.2159    2.0659    2.0123    2.4482