HDU&POJ训练记录4 生成函数

来源：互联网发布：视频剪辑软件格式工厂编辑：程序博客网时间：2024/06/10 13:13

1、Ignatius and the Princess III

传送门

题意简述

求将n拆分成若干整数的方案数。

数据范围

n≤120

题解

首先构造用每一个数能构成的数的生成函数，然后相乘
(1+x1+x2+x3+...)(1+x2+x4+x6+...)(1+x3+x6+x9...)...
然后将多项式展开，xn项的系数就是答案
那么可以O(n3)直接暴力求解多项式

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 150int n;int a[N],b[N];int main(){    while (~scanf("%d",&n))    {        for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=1,b[i]=0;        for (int i=2;i<=n;++i)        {            for (int j=0;j<=n;++j)                for (int k=0;k<=n;k+=i)                    b[j+k]+=a[j];            for (int j=0;j<=n;++j) a[j]=b[j],b[j]=0;        }        printf("%d\n",a[n]);    }}

2、Square Coins

传送门

题意简述

求将n划分成若干个完全平方数的方案数。

数据范围

n≤300

题解

和上一题相似，构造用每一个完全平方数的生成函数，然后相乘
(1+x1+x2+x3+...)(1+x2+x4+x6+...)(1+x3+x6+x9...)...
然后将多项式展开，xn项的系数就是答案
那么可以O(n3)直接暴力求解多项式

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 600int n,m,qr[N],a[N],b[N];int main(){    for (int i=1;i<=18;++i) qr[i]=i*i;    while (~scanf("%d",&m))    {        if (!m) break;        for (n=1;qr[n+1]<=m;++n);        for (int i=0;i<=m;++i) a[i]=1,b[i]=0;        for (int i=2;i<=n;++i)        {            for (int j=0;j<=m;++j)                for (int k=0;k<=m;k+=qr[i])                    b[j+k]+=a[j];            for (int j=0;j<=m;++j) a[j]=b[j],b[j]=0;        }        printf("%d\n",a[m]);    }}

3、Holding Bin-Laden Captive!

传送门

题意简述

有a个1，b个2，c个5，问最小的无法组合出的数。

数据范围

a,b,c≤1000

题解

和之前的方法都是差不多的
分别构造1,2,5的生成函数，这里是一个有限数列
(1+x1+x2+...+xa)(1+x2+x4+...+x2b)(1+x5+x10+...+x5c)
将多项式展开，然后找一个次数最小的没有系数的项即可
时间O(n2)

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 10000int x,y,z,ans;int a[N],b[N];int main(){    while (~scanf("%d%d%d",&x,&y,&z))    {        if (!x&&!y&&!z) break;        memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));        for (int i=0;i<=x;++i) a[i]=1;        for (int i=0;i<=x;++i)            for (int j=0;j<=y<<1;j+=2)                b[i+j]+=a[i];        for (int i=0;i<=x+(y<<1);++i) a[i]=b[i],b[i]=0;        for (int i=0;i<=x+(y<<1);++i)            for (int j=0;j<=z*5;j+=5)                b[i+j]+=a[i];        for (ans=1;ans<=x+(y<<1)+z*5;++ans)            if (!b[ans]) break;        printf("%d\n",ans);    }}

4、Big Event in HDU

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题意简述

有n种东西，每一个的权值为v，有m个。将这些东西分成两拨，让权值和尽量接近。

数据范围

0<n,v≤50,0<m≤100

题解

判断读入结束是一个负数，并不一定是-1，wa了好久。。
首先用生成函数求出来那些权值能被组合出来，然后枚举一下[m/2..0]范围内的就行了
时间O(nmv)

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 300000int n,m,x,y;int a[N],b[N];int main(){    while (~scanf("%d",&n))    {        if (n<0) break;        memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));        scanf("%d%d",&x,&y);        for (int i=0;i<=y;++i) a[x*i]=1;        m=x*y;        for (int i=2;i<=n;++i)        {            scanf("%d%d",&x,&y);            for (int j=0;j<=m;++j)                for (int k=0;k<=y;++k)                    b[j+x*k]+=a[j];            m+=x*y;            for (int j=0;j<=m;++j) a[j]=b[j],b[j]=0;        }        for (int i=m/2;i>=0;--i)            if (a[i])            {                printf("%d %d\n",m-i,i);                break;            }    }}

5、Blocks

传送门

题意简述

用红黄蓝绿给n个格子染色，要求红色和绿色必须是偶数个，求方案数。对10007取模。

数据范围

T≤100,1≤n≤109

题解

因为牵扯到排列问题，需要用到指数型生成函数
设方案数为an，可以写出生成函数：
(1+x22!+x44!+...)2(1+x+x22!+x33!+...)2=(ex+e−x2)2⋅e2x=e2x+e−2x+24⋅e2x=e4x+2e2x+14=(4n−1+2n−1)∑n>0xnn!
所以这道题的答案就是4n−1+2n−1

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define Mod 10007int T,n;int fast_pow(int a,int p){    int ans=1;    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)        if (p&1)            ans=ans*a%Mod;    return ans;}int main(){    scanf("%d",&T);    while (T--)    {        scanf("%d",&n);        printf("%d\n",(fast_pow(4,n-1)+fast_pow(2,n-1))%Mod);    }}

6、排列组合

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题意简述

有n种物品，每种有ai个，在这些物品中选出m个，求排列数。

数据范围

1≤n,m≤10

题解

排列问题，用到指数型生成函数
指数表示出现的次数，写出生成函数应该是∏i=1n(1+x+x22!+x33!+...+xaiai!)
然后将多项式展开求第m项的系数
过程中暴力做多项式乘法用double，注意c++强转int是向0取整

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;int n,m,x;double mul[50],a[50],b[50];int main(){    mul[0]=1.0;    for (int i=1;i<=10;++i) mul[i]=mul[i-1]*(double)i;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));        scanf("%d",&x);        for (int i=0;i<=min(m,x);++i) a[i]=1.0/mul[i];        for (int i=2;i<=n;++i)        {            scanf("%d",&x);            for (int j=0;j<=m;++j)                for (int k=0;k<=min(m,x);++k)                    b[j+k]+=a[j]*(1/mul[k]);            for (int j=0;j<=m;++j) a[j]=b[j],b[j]=0.0;        }        printf("%.0lf\n",a[m]*mul[m]);    }}

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