【算法-排序】杂记

1.快速排序最坏情况就是每次选的基准数都和其他数做过比较,共需比较( n -1) + ( n -2) + … + 1 = n( n -1) /2

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2.
时间/空间复杂度

冒泡排序,简单选择排序,堆排序,直接插入排序,希尔排序的空间复杂度为O(1),因为需要一个临时变量来交换元素位置,(另外遍历序列时自然少不了用一个变量来做索引)
快速排序空间复杂度为logn(因为递归调用了) ,
归并排序空间复杂是O(n),需要一个大小为n的临时数组.

基数排序的空间复杂是O(n),桶排序的空间复杂度不确定

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3.任何一个基于”比较”的内部排序的算法，若对6个元素进行排序，则在最坏情况下所需的比较次数至少为？

因为6个数字的排列组合是6！，
按照决策树每次可以判断一半的情况，2^k
要求2^k > 6!
取log后得到 k > log(6!) = log(720)
log(2^9) = log(512) = 9 < log(720) < log(2^10) = log(1024) = 10，
所以应该至少选10次。

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4.希尔排序_2
实质就是分组插入排序，该方法又称缩小增量排序，因DL．Shell于1959年提出而得名。
该方法的基本思想是：先将整个待排元素序列分割成若干个子序列（由相隔某个“增量”的元素组成的）分别进行直接插入排序，然后依次缩减增量再进行排序，待整个序列中的元素基本有序（增量足够小）时，再对全体元素进行一次直接插入排序。因为直接插入排序在元素基本有序的情况下（接近最好情况），效率是很高的，因此希尔排序在时间效率上比前两种方法有较大提高。

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5.假设你只有100Mb的内存，需要对1Gb的数据进行排序，最合适的算法是？
首先肯定不能使用内存排序算法，内存根本装不下，所以需要使用外存来排序。这时候使用多路归并排序，把数据分为n段，每段小于100Mb，再使用用内存来排序，将排序结果用外存记录，然后每次从外存中来取记录，在内存中进行比较，从而获取最后的排序结果。

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6.直接插入排序
基本思想

当插入第i(i≥1)个对象时,前面的V[0],V[1],…,V[i−1]已经排好序。这时,用V[i]的排序码与V[i−1],V[i−2],…,V[0]的排序码顺序进行比较,找到插入位置即将V[i]插入,原来位置上的对象向后顺移。

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7.设数组中初始状态是递增的，分别用堆排序，快速排序，冒泡排序和归并排序方法对其进行排序（按递增顺序）， 那个 最省时间， 那个 最费时间。
这道题更为严谨应该是改良后冒泡排序最省时间（有标志位f，遍历一趟，没有改变则跳出循环）O(n),而快排在数列基本有序的情况下时间复杂度最差为O(n2 );

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8.线性排序算法
计数排序

假设：有n个数的集合，而且n个数的范围都在0~k(k = O(n))之间。

运行时间：Θ(n+k)

桶排序

桶排序：将数组分到有限个桶子内，然后再对桶子里面的序列进行排序，运行时间Θ(n)。桶排序基于一个假设：输入的数据由随机过程构成，否则在最坏情况下都分配到一个桶子里面，如果又不满足计数排序的假设要求，那么只能使用基于比较的排序算法进行排序，运行时间就退化到Ω(nlogn)。
基数排序

基数排序：将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后， 数列就变成一个有序序列。

基数排序分为两种LSD和MSD。

LSD(Least significant digital)：最低有效位优先，即从右向左开始排序。

MSD(Most significant digital)：最高有效位优先，即从左往右开始排序。

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9.分配排序（又叫基数排序）
一. 算法描述
基数排序（以整形为例），将整形10进制按每位拆分，然后从低位到高位依次比较各个位。主要分为两个过程：
(1)分配，先从个位开始，根据位值(0-9)分别放到0~9号桶中（比如53,个位为3，则放入3号桶中）
(2)收集，再将放置在0~9号桶中的数据按顺序放到数组中
重复(1)(2)过程，从个位到最高位（比如32位无符号整形最大数4294967296，最高位10位）

以【521 310 72 373 15 546 385 856 187 147】序列为例，具体细节如下图所示：

二. 算法分析

平均时间复杂度：O(dn)(d即表示整形的最高位数)

空间复杂度：O(10n) （10表示0~9，用于存储临时的序列）

稳定性：稳定

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10.排序时，若不采用计数排序等科技换时间的方法，合并m个长度为n的已排序数组的时间复杂度最优为（）
O（nm）是这个算法的下限了，不用空间换时间做不到。可以用败者树来解，复杂度为O（nmlogm）
合并m个长度为n的已排序数组的时间复杂度为O(nmlogm)。思路是：首先将m个已排序数组的第一个数，建立大小为m的小根堆，时间复杂度O(m)。然后每次输出堆顶的数，再将其所属已排序数组的后一个数放入堆顶，调节小根堆。因为我们有m*n个数，小根堆调整时间为O(logm)，所以时间复杂度O(nmlogm)。

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11.
选择树：能够记载上一次比较所获得的知识的数据结构。完全二叉树，分为胜者树和败者树两种。

胜者树：每个父结点表示它的两个子女中比赛胜利的结点，胜利的结点继续向上比赛。根结点记录了最后的胜者。

       重构：从缓冲区中再取出一个结点，将其与自己的兄弟结点比较，如果胜，则继续向上比较，否则，其兄弟代替它继续向上比较。

败者树：每个父结点表示它的两个子女中比赛失败的结点，胜利的结点继续向上比赛。根结点记录的是与最后的胜者比较后失败者，所以需要添加 一个结点来表示最后的胜者。

       重构：从缓冲区中再取出一个结点，将其与自己的父亲结点进行比较，如果胜，则继续向上比较，否则，其父亲代替它继续向上比较。       注：叶子结点记录的是真实的值，而非叶结点记录了相应的结点标号，不是实际的数据

胜者树和败者树的复杂度相同，只是败者树的重构过程比较简单

外部排序——归并

有一个很大的记录，将其平均分为几小部分，假设分为了A、B、C、D、E、F、G七个文件，每个文件有足够的内存可以容纳

将这七个文件分别放入内存，进行内排序，形成七个归并段

假设采用三路归并：将3个归并段归并为一个，通过反复输出关键字最小的记录完成

每次归并的时候，不需要将所有的记录都放入内存，只要取每个文件的第一个记录即可。

完成第一次归并后，七个归并段将减少为三个归并段

进行第二次归并，三个归并段就可以归并为一个归并段，完成排序

在此期间，文件可用于作为缓冲区

败者树与归并

假设有m个初始归并段，进行k路归并排序，则磁盘读写的次数为|logkm|（k是log的底数）

（这个过程与二叉树的高度是相同的，总共有m个元素，每次k个不断归为1，到顶时m个归为1）

可见，当k越大的时候，读写的次数越小。

一次归并的算法复杂度：O((n-1)log2k)（n表示参与一次归并时的所有归并段中的元素个数）

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12.外部排序与归并
一、定义问题

  外部排序指的是大文件的排序，即待排序的记录存储在外存储器上，待排序的文件无法一次装入内存，需要在内存和外部存储器之间进行多次数据交换，以达到排序整个文件的目的。外部排序最常用的算法是多路归并排序，即将原文件分解成多个能够一次性装入内存的部分，分别把每一部分调入内存完成排序。然后，对已经排序的子文件进行多路归并排序。

二、处理过程

（1）按可用内存的大小，把外存上含有n个记录的文件分成若干个长度为L的子文件，把这些子文件依次读入内存，并利用有效的内部排序方法对它们进行排序，再将排序后得到的有序子文件重新写入外存；

（2）对这些有序子文件逐趟归并，使其逐渐由小到大，直至得到整个有序文件为止。

先从一个例子来看外排序中的归并是如何进行的？
假设有一个含10000 个记录的文件，首先通过10 次内部排序得到10 个初始归并段R1～R10 ，其中每一段都含1000 个记录。然后对它们作如图10.11 所示的两两归并，直至得到一个有序文件为止 如下图

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13.
拓扑排序 ：

由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。

(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；

(2) 从网中删除此顶点及所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

典型实现算法：

Kahn算法：
不难看出该算法的实现十分直观，关键在于需要维护一个入度为0的顶点的集合：

每次从该集合中取出(没有特殊的取出规则，随机取出也行，使用队列/栈也行，下同)一个顶点，将该顶点放入保存结果的List中。

紧接着循环遍历由该顶点引出的所有边，从图中移除这条边，同时获取该边的另外一个顶点，如果该顶点的入度在减去本条边之后为0，那么也将这个顶点放到入度为0的集合中。然后继续从集合中取出一个顶点…………

当集合为空之后，检查图中是否还存在任何边，如果存在的话，说明图中至少存在一条环路。不存在的话则返回结果List，此List中的顺序就是对图进行拓扑排序的结果。

基于DFS的拓扑排序：

除了使用上面直观的Kahn算法之外，还能够借助深度优先遍历来实现拓扑排序。这个时候需要使用到栈结构来记录拓扑排序的结果。

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14.
在数据元素的序列中，对于某个元素，如果其后存在一个元素小于它，则称之为存在一个逆序。冒泡排序只交换相邻元素，但不是每次移动都产生新的逆序。简单插入排序每一次比较后最多移掉一个逆序。快速排序每一次交换移动都会产生新的逆序，因为当不会有新的逆序产生时，本轮比较结束。简单选择排序的基本思想是先从所有 n 个待排序的数据元素中选择最小的元素，将该元素与第一个元素交换，再从剩下的 n-1 个元素中选出最小的元素与第 2 个元素交换，这样做不会产生逆序。故本题答案为 A 选项。

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15.计数排序
以往的排序算法中，各个元素的位置基于元素直接的比较，这类排序称为比较排序。任意一个比较排序算法在最坏情况下，都需要做Ω(nlgn)次的比较。

而计数排序是基于非排序的思想的，计数排序假设n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数。

计数排序的思想是对每一个输入元素x，确定出小于x的元素个数，有了这一信息，就可以把x直接放在它在最终输出数组的位置上，例如，如果有17个元素小于x，则x就是属于第18个输出位置。当几个元素相同是，方案要略作修改。

计数排序是稳定的。
时间复杂度O(n+k),空间复杂度O(k)

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16.
一趟快速排序意思是：寻找一个支点，将该序列位置整个调整一边，可以看到M是支撑点，左边都是比M小的，右边都是比M大的，
注意：支点不一定是左边第一个数，可以任意选的。

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17.外部排序过程中，为了减少外存读写次数需要减小归并趟数（外部排序的过程中用到归并），归并趟数为：logk n（其中k为归并路数，n为归并段的个数）。增加k和减小n都可以达到减小归并趟数的目的。置换-选择排序就是一种减小n的、在外部排序中创建初始归并段时用到的算法。它可以让初始归并段的长度增减，从而减小初始归并段的段数（因为总的记录数是一定的）