[bzoj4035]数组游戏

题目描述

有一个长度为N的数组，甲乙两人在上面进行这样一个游戏：首先，数组上有一些格子是白的，有一些是黑的。然
后两人轮流进行操作。每次操作选择一个白色的格子，假设它的下标为x。接着，选择一个大小在1~n/x之间的整数
k，然后将下标为x、2x、…、kx的格子都进行颜色翻转。不能操作的人输。现在甲（先手）有一些询问。每次他
会给你一个数组的初始状态，你要求出对于这种初始状态他是否有必胜策略。

好题

我们直接做怎么都不好做，考虑转化问题。
把只能选白改成随便选。率先让场上没有白色的人获胜。
那么如果有人动黑，显然做一步后不会获胜（这个黑变成了白），如果该操作对这个人有利，另一个人就会做相同操作使局面恢复。
动白好像也能恢复回去？但是动白可能一步获胜，而如果不能一步获胜，对面恢复代表恢复是有利操作，那么这个人也来阻止他……
感性理解一下啦！新游戏一定不会碰黑！
那和原游戏等价。因此每个白子是独立的。
设sg(i)表示格子i有个白色子的游戏的估价函数。
根据定义，有sg(i)=mex{sg(2*i),sg(2*i)^sg(3*i)……}
我们来发现一个结论吧！
如果ni=nj那么sg(i)=sg(j)
归纳证明一下，i>n/2显然正确，此时sg都是1。
否则，考虑到ni∗j=nij
而上面是一样的，下面又一样，因此又是一样，那么sg相同。
上面的话乱写的，可以理解一下。
分块？还是好慢。
相邻块sg值相同，好像可以并成一块哦！
然后就飞起来了。
不明原因

#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)using namespace std;const int maxn=100000+10;int pos[maxn],p[maxn],sg[maxn],vis[maxn];int i,j,k,l,r,mid,t,n,m,x,y,q,tot,top,mx;void dp(){    vis[0]=1;    p[0]=n+1;    fd(i,tot,1){        k=pos[i];        mx=t=0;        fd(j,top,1){            x=p[j-1]/k;            if (p[j-1]%k==0) x--;            y=p[j]/k;            if (p[j]%k==0) y--;            if (x==y) continue;            vis[t^sg[j]]=1;            mx=max(mx,t^sg[j]);            if (x%2!=y%2) t^=sg[j];        }        mx++;        fo(j,0,mx)            if (!vis[j]){                if (sg[top]==j){                    p[top]=k;                }                else{                    p[++top]=k;                    sg[top]=j;                }                break;            }        fo(j,1,mx) vis[j]=0;    }}int main(){    //freopen("data2.in","r",stdin);freopen("4035.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&q);    i=1;    while (i<=n){        j=n/(n/i);        pos[++tot]=i;        i=j+1;    }    dp();    while (q--){        t=0;        scanf("%d",&m);        fo(i,1,m){            scanf("%d",&j);            l=1;r=top;            while (l<r){                mid=(l+r)/2;                if (j>=p[mid]) r=mid;else l=mid+1;            }            t^=sg[l];        }        if (t) printf("Yes\n");else printf("No\n");    }}