离散基础 (7). 模运算之负载均衡

1. 模运算的定义
实数m和n，n被m除的商是⌊nm⌋ ,余数为nmodm, 即 n=m⌊nm⌋+nmodm。特别地，当m=1时，n=⌊n⌋+nmod1, ⌊n⌋, 表示n的整数部分，nmod1表示n的非整数部分。

2. 基本定律
分配律: c(nmodm)=(cn)mod(cm)

3. 基本定理
二分治之递归定理：n=⌈n2⌉+⌊n2⌋

m分非增治之递归定理：n=⌈nm⌉+⌈n−1m⌉+⌈n−2m⌉+⋯+⌈n−m+1m⌉

m分非减治之递归定理：n=⌊nm⌋+⌊n+1m⌋+⌊n+2m⌋+⋯+⌊n+m−1m⌋

4. 应用
给定n=11（11个数），m=3（排3列），不同的排列方法（任务规划）如下:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1234567891011⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡⎣⎢⎢⎢1234567891011⎤⎦⎥⎥⎥

⎡⎣⎢⎢⎢1234567891011⎤⎦⎥⎥⎥

第一个矩阵为原排序，第二个矩阵为m分非增治之递归定理的排列结果，第二个矩阵为m分非减治之递归定理的排列结果。显然，后两者排序的均衡度远大于第一种，美观程度上也是如此。

5. 总结
模运算负载均衡三恒等式：二分治之递归定理，m分非增治之递归定理，m分非减治之递归定理对算法的均衡性的设计是有启发的。