多维双曲方程

复习

考虑

∂w∂t+∂∂xf(w)=0

这里的w=(vu),f(w)=(−up(v)),假设p′(v)<0,方程组是严格双曲的，它的Jacobi 矩阵将是A=(0p′(v)−10),它的特征值λ1(v)=−−p′(v)−−−−−−√<0<λ2(v)=−p′(v)−−−−−−√.会有一堆特征向量

导论

• 1.1节介绍了常见的一些定义，Jacobi 矩阵，特征矩阵；双曲的定义；线性退化；黎曼不变量；还给出了Example 1.1 理想气体动力学方程；最后介绍了什么叫一维的投影方程。
  考虑

  ∂u∂t+∑j=1d∂∂xjfj(u)=0(1.2)
  
  特征矩阵A(u,w),w=(w1,..wd)T注意f′j(u)=(∂fij∂uk)p×p是一个矩阵,F(u)=(f1,..fp)
  A(u,w)=∑j=1df′j(u)wj=F′(u)⋅w(1.3)
  双曲：假如A有p个实数特征值，λ1⩽λ2...⩽λp,且有完备的特征向量{rk},Ark=λkrk;
  正真非线性：∇uλk⋅rk≠0
  线性退化：∇uλk⋅rk=0
  k-黎曼不变量w: ∇uw(u)⋅rk=0,特别的，当λk是线性退化的时候，它是黎曼不变量。

• 1.2节介绍了超平面的概念；两个引理；特征方程，特征线这些概念。

• 1.3节介绍了简单平面波。

• 1.4节 介绍了激波

• 2节 专门以气体动力学方程为例，具体讲述相关概念。