MIT 线性代数（34—35）读书笔记

第三十四讲：左右逆和伪逆

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前面我们涉及到的逆（inverse）都是指左、右乘均成立的逆矩阵，即A−1A=I=AA−1。在这种情况下，m×n矩阵A满足m=n=rank(A)，也就是满秩方阵。

左逆（left inserve）

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记得我们在最小二乘一讲（第十六讲）介绍过列满秩的情况，也就是列向量线性无关，但行向量通常不是线性无关的。常见的列满秩矩阵A满足m=n=rank(A)(情况1)。

列满秩时，列向量线性无关，所以其零空间中只有零解，方程Ax=b可能有一个唯一解（b在A的列空间中，此特解就是全部解，因为通常的特解可以通过零空间中的向量扩展出一组解集，而此时零空间只有列向量），也可能无解（b不在A的列空间中）。

另外，此时行空间为Rn，也正印证了与行空间互为正交补的零空间中只有列向量。

现在来观察ATA，也就是在m>n=rank(A)(情况2)的情况下，n×m矩阵乘以m×n矩阵，结果为一个满秩的n×n矩阵，所以ATA是一个可逆矩阵。也就是说(ATA)−1ATA=I成立，而大括号部分的(ATA)−1AT称为长方形矩阵A的左逆

A−1left=(ATA)−1AT

• 顺便复习一下最小二乘一讲，通过关键方程ATAx^=ATb，A−1left被当做一个系数矩阵乘在b向量上，求得b向量投影在A的列空间之后的解x^=(ATA)−1ATb。
• 如果我们强行给左逆左乘矩阵A，得到的矩阵就是投影矩阵P=A(ATA)−1AT，来自p=Ax^=A(ATA)−1AT，它将右乘的向量b投影在矩阵A的列空间中。

再来观察AAT矩阵，这是一个m×m矩阵，秩为rank(AAT)=n<m，也就是说AAT是不可逆的，那么接下来我们看看右逆。

2.右逆（right inverse）

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可以与左逆对称的看，右逆也就是研究m×n矩阵A行满秩的情况，此时n>m=rank(A)。对称的，其左零空间中仅有零向量，即没有行向量的线性组合能够得到零向量。

行满秩时，矩阵的列空间将充满向量空间C(A)=Rm，所以方程Ax=b总是有解集，由于消元后有n−m个自由变量，所以方程的零空间为n−m维。

与左逆对称，再来观察AAT，在n>m=rank(A)(情况3)的情况下，m×n矩阵乘以n×m矩阵，结果为一个满秩的m×m矩阵，所以此时AAT是一个满秩矩阵，也就是AAT可逆。所以AAT(AAT)=I，大括号部分的AT(AAT)称为长方形矩阵的右逆

A−1right=AT(AAT)

同样的，如果我们强行给右逆右乘矩阵A，将得到另一个投影矩阵P=AT(AAT)A，与上一个投影矩阵不同的是，这个矩阵的A全部变为AT了。所以这是一个能够将右乘的向量b投影在A的行空间中。

前面我们提及了逆（方阵满秩），并讨论了左逆（矩阵列满秩）、右逆（矩阵行满秩），现在看一下第四种情况，m×n矩阵A不满秩的情况。

3.伪逆（pseudo inverse）

3.1定义

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有m×n矩阵A，满足rank(A)<min(m, n)(情况4)，则

• 列空间C(A)∈Rm, dimC(A)=r，左零空间N(AT)∈Rm, dimN(AT)=m−r，列空间与左零空间互为正交补；

• 行空间C(AT)∈Rn, dimC(AT)=r，零空间N(A)∈Rn, dimN(A)=n−r，行空间与零空间互为正交补。

现在任取一个向量x，乘上A后结果Ax一定落在矩阵A的列空间C(A)中。而根据维数，x∈Rn, Ax∈Rm，那么我们现在猜测，输入向量x全部来自矩阵的行空间，而输出向量Ax全部来自矩阵的列空间，并且是一一对应的关系，也就是Rn的r维子空间到Rm的r维子空间的映射。

而矩阵A现在有这些零空间存在，其作用是将某些向量变为零向量，这样Rn空间的所有向量都包含在行空间与零空间中，所有向量都能由行空间的分量和零空间的分量构成，变换将零空间的分量消除。但如果我们只看行空间中的向量，那就全部变换到列空间中了。

那么，我们现在只看行空间与列空间，在行空间中任取两个向量x, y∈C(AT)，则有Ax≠Ay。所以从行空间到列空间，变换A是个不错的映射，如果限制在这两个空间上，A可以说“是个可逆矩阵”，那么它的逆就称作伪逆，而这个伪逆的作用就是将列空间的向量一一映射到行空间中。通常，伪逆记作A+，因此Ax=(Ax), y=A+(Ay)。

现在我们来证明对于x,y∈C(AT), x≠y，有Ax,Ay∈C(A), Ax≠Ay：

• 反证法，设Ax=Ay，则有A(x−y)=0，即向量x−y∈N(A)；

• 另一方面，向量x,y∈C(AT)，所以两者之差x−y向量也在C(AT)中，即x−y∈C(AT)；

• 此时满足这两个结论要求的仅有一个向量，即零向量同时属于这两个正交的向量空间，从而得到x=y，与题设中的条件矛盾，得证。

伪逆在统计学中非常有用，以前我们做最小二乘需要矩阵列满秩这一条件，只有矩阵列满秩才能保证ATA是可逆矩阵，而统计中经常出现重复测试，会导致列向量线性相关，在这种情况下ATA就成了奇异矩阵，这时候就需要伪逆。

3.2 伪逆求解

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接下来我们介绍如何计算伪逆A+：

• 其中一种方法是使用奇异值分解，A=UΣVT，其中的对角矩阵型为Σ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢σ1⋱σ2[0]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥，对角线非零的部分来自ATA, AAT比较好的部分，剩下的来自左/零空间。

我们先来看一下Σ矩阵的伪逆是多少，这是一个m×n矩阵，rank(Σ)=r，Σ+=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1σ1⋱1σr[0]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，伪逆与原矩阵有个小区别：这是一个n×m矩阵。则有ΣΣ+=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1⋱1[0]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥m×m，Σ+Σ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1⋱1[0]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥n×n。

观察ΣΣ+和Σ+Σ不难发现，ΣΣ+是将向量投影到列空间上的投影矩阵，而Σ+Σ是将向量投影到行空间上的投影矩阵。我们不论是左乘还是右乘伪逆，得到的不是单位矩阵，而是投影矩阵，该投影将向量带入比较好的空间（行空间和列空间，而不是左/零空间）。

• 接下来我们来求A的伪逆：
  
  A+=VΣ+UT

4. 总结

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1.
A是m×n，m 行 n 列
1）矩阵可逆：
即两边逆，AA−1=I=A−1A，此时 r=m=n，A 为方阵且满秩，零空间和左零空间都只有零
向量。

2）左逆(m>n=rank(A))：
当列满秩，列向量线性无关，行向量不一定，r=n，零空间只有零向量，Ax=b 存在 0 个或 1 个解。 ATA 是 n×n 的对称矩阵，满秩，ATA是可逆的，称(ATA)−1AT为 A 的左逆，因为(ATA)−1AT∗A=I。这在最小二乘中至关重要，因为最小二乘以ATA 为系数矩阵（为什么统计学家喜欢这些？因为统计学家最喜欢用最小二乘），在列满秩的情况下，ATA可逆。此时[(ATA)−1AT]为 n×m，A为m×n，得 I为 n×n。

3）右逆(n>m=rank(A))：
当行满秩，行向量线性无关，r=m，AT 的零空间只含零向量，Ax=b有或无穷多个解，因为 A∗AT(AAT)−1=I，所以把 AT(AAT)−1 称为 A 的右逆。

4）伪逆(rank(A)<min(m, n))：
r<m,r<n，行空间和列空间的维数相同，都是r维，行空间的任意向量 x，与 A 相乘，得到恰好是列空间中的所有向量，行空间向量 x与列空间向量 Ax 的关系是一 一对应的。所有向量都能由行空间的分量和零空间的分量构成。

• 行空间中向量 x 对应着列空间中的 Ax（零空间中的 x乘以 A 得零 Ax=0）， 行空间中向量 y 对应着列空间中的 Ay。

• 但如果要从列空间得到行空间的向量呢，要得到行空间的向量，那么x=A+(Ax)，A+就是伪逆，伪逆把左零空间变为0，即如果 A+ 乘以左零空间的向量，结果为 0。

• 假设没有零空间的干扰，即假设零空间只有零向量，存在逆，那么行空间的向量x 得到列空间的向量 Ax，反过来，通过 A 的逆就能从列空间得到行空间， A−1(Ax)=x。

• (ATA)−1AT∗A=I， 如果将左逆写在右边将得不到单位矩阵了， 那么 A(ATA)−1AT 是在列空间投影的投影矩阵，它会尽量靠近单位矩阵，一个投影矩阵很想成为单位矩阵，但不可能做到。

2.求解伪逆（SVD分解）

第三十五讲：期末复习

依然是从以往的试题入手复习知识点。

1.
已知m×n矩阵A，有Ax=⎡⎣⎢100⎤⎦⎥无解；Ax=⎡⎣⎢010⎤⎦⎥仅有唯一解，求关于m,n,rank(A)的信息。

首先，最容易判断的是m=3；而根据第一个条件可知，矩阵不满秩，有r<m；根据第二个条件可知，零空间仅有零向量，也就是矩阵消元后没有自由变量，列向量线性无关，所以有r=n。

综上，有m=3>n=r。

根据所求写出一个矩阵A的特例：A=⎡⎣⎢010001⎤⎦⎥。

detATA=?detAAT：不相等，因为ATA可逆而AAT不可逆，所以行列式不相等。（但是对于方阵，detAB=detBA恒成立。）

• ATA可逆吗？是，因为r=n，矩阵列向量线性无关，即列满秩。

• AAT正定吗？否，因为AAT是3×n矩阵与n×3矩阵之积，是一个三阶方阵，而AAT秩为2，所以不是正定矩阵。（不过AAT一定是半正定矩阵。）

  求证ATy=c至少有一个解：因为A的列向量线性无关，所以AT的行向量线性无关，消元后每行都有主元，且总有自由变量，所以零空间中有非零向量，零空间维数是m−r（可以直接从dimN(AT)=m−r得到结论）。

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2.
设A=[v1 v2 v3]，对于Ax=v1−v2+v3，求x。

按列计算矩阵相乘，有x=⎡⎣⎢1−11⎤⎦⎥。

• 若Ax=v1−v2+v3=0，则解是唯一的吗？为什么。如果解释唯一的，则零空间中只有零向量，而在此例中x=⎡⎣⎢1−11⎤⎦⎥就在零空间中，所以解不唯一。

• 若v1,v2,v3是标准正交向量，那么怎样的线性组合c1v1+c2v2能够最接近v3？此问是考察投影概念，由于是正交向量，所以只有0向量最接近v3。

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3.
矩阵A=⎡⎣⎢.2.4.4.4.2.4.3.3.4⎤⎦⎥，求稳态。

这是个马尔科夫矩阵，前两之和为第三列的两倍，奇异矩阵总有一个特征值为0，而马尔科夫矩阵总有一个特征值为1，剩下一个特征值从矩阵的迹得知为−.2。

再看马尔科夫过程，设从u(0)开始，uk=Aku0,u0=⎡⎣⎢0100⎤⎦⎥。先代入特征值λ1=0, λ2=1, λ3=−.2查看稳态uk=c1λk1x1+c2λk2x2+c3λk3x3，当k→∞，第一项与第三项都会消失，剩下u∞=c2x2。

到这里我们只需求出λ2对应的特征向量即可，带入特征值求解(A−I)x=0，有⎡⎣⎢−.8.4.4.4−.8.4.3.3−.6⎤⎦⎥⎡⎣⎢???⎤⎦⎥=⎡⎣⎢000⎤⎦⎥，可以消元得，也可以直接观察得到x2=⎡⎣⎢334⎤⎦⎥。

剩下就是求c2了，可以通过u0一一解出每个系数，但是这就需要解出每一个特征值。另一种方法，我们可以通过马尔科夫矩阵的特性知道，对于马尔科夫过程的每一个uk都有其分量之和与初始值分量之和相等，所以对于x2=⎡⎣⎢334⎤⎦⎥，有c2=1。所以最终结果是u∞=⎡⎣⎢334⎤⎦⎥。

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4.
对于二阶方阵，回答以下问题：

求投影在直线a=[4−3]上的投影矩阵：应为P=aaTaTa。

已知特征值λ1=2, x1=[12]λ2=3, x2=[21]求原矩阵A：从对角化公式得A=SΛS−1=[1221][0003][1221]−1，解之即可。

A是一个实矩阵，且对任意矩阵B，A都不能分解成A=BTB，给出A的一个例子：我们知道BTB是对称的，所以给出一个非对称矩阵即可。 矩阵A有正交的特征向量，但不是对称的，给出一个A的例子：我们在三十三讲提到过，反对称矩阵，因为满足AAT=ATA而同样具有正交的特征向量，所以有A=[0−110]或旋转矩阵[cosθsinθ−sinθcosθ]，这些矩阵都具有复数域上的正交特征向量组。

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5.最小二乘问题，因为时间的关系直接写出计算式和答案，⎡⎣⎢111012⎤⎦⎥[CD]=⎡⎣⎢341⎤⎦⎥(Ax=b)，解得[C^D^]=[113−1]。

求投影后的向量p：向量p就是向量b在矩阵A列空间中的投影，所以p=⎡⎣⎢p1p2p3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢111012⎤⎦⎥[C^D^]。

求拟合直线的图像：x=0,1,2时y=p1,p2,p2所在的直线的图像，y=C^+D^x即y=113−x。

• 接上面的题目

  求一个向量b使得最小二乘求得的[C^D^]=[00]：我们知道最小二乘求出的向量[C^D^]使得A列向量的线性组合最接近b向量（即b在A列空间中的投影），如果这个线性组合为0向量（即投影为0），则b向量与A的列空间正交，所以可以取b=⎡⎣⎢1−21⎤⎦⎥同时正交于A的两个列向量。