最长上升子序列

示例题目：POJ2533
参考书籍：《挑战程序设计竞赛》

第一种方法：O(n^2)
dp[i]：以a[i]结尾的最长上升子序列的长度

• 只包含a[i]的序列
• 由a[j]追加a[i]得到（满足j< i并且a[j]< a[i]）

状态转移方程：
dp[i]=max{dp[i],dp[j]+1}

#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;int a[1005];int dp[1005];int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int n;    while(cin>>n)    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            cin>>a[i];        }        memset(dp,0,sizeof(dp));        int res=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            dp[i]=1;            for(int j=1;j<i;j++)            {                if(a[i]>a[j])                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);            }            res=max(dp[i],res);        }        cout<<res<<endl;    }    return 0;}

第二种方法：O(nlogn)
dp[i]：长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值（不存在就是INF）
状态转移方程：
对数列从左往右扫一遍，对于当前扫到的元素a[j]
如果i=0或者dp[i-1]< a[j]，就用dp[i]=min(dp[i],a[j])更新，
考虑到dp数列中除INF外是单调递增的，dp[i]的指针可由
lower_bound(dp,dp+n,a[j])得出。

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;int a[1005];int dp[1005];/// dp[i]表示长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值/// 不存在就是INFint main(){    //int t[5]={1,2,4,4,5};    //cout<<lower_bound(t,t+5,3)-t<<endl;    ios::sync_with_stdio(false);    int n;    while(cin>>n)    {        for(int i=0;i<n;i++)        {            cin>>a[i];        }        fill(dp,dp+n,INF);        for(int i=0;i<n;i++)        {            *(lower_bound(dp,dp+n,a[i]))=a[i];        }        cout<<lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp<<endl;    }    return 0;}

按照白书上的理解

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;int a[1005];int dp[1005];//dp[i]:以a[i]结尾的LIS的长度int g[1005];//g[k]=a[j]   (dp[j]=k&&j最小)///g[1]<=g[2]<=g[3]<=...<=g[n]  (if not exist g[i]=INF)///dp[i]=max(0,dp[j])+1   (j<i&&a[j]<a[i])int main(){    int n;    while(cin>>n)    {        for(int i=0;i<n;i++)            cin>>a[i];        fill(g,g+n+1,INF);        for(int i=0;i<n;i++)        {            //g[k']<a[i]<=g[k]   (k=k'+1)            int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g;            //g[k']=a[j']<a[i]   dp[j']=k'=k-1            //g[k]=a[j]>=a[i]            dp[i]=k;            //dp[i]=max(0,dp[j'])+1=k  (j'<i&&a[j']<a[i])            g[k]=a[i];        }        cout<<lower_bound(g+1,g+n+1,INF)-(g+1)<<endl;    }    return 0;}