最长非递减子序列

一个序列有N个数：A[1],A[2],…,A[N]，求出最长非降子序列的长度。(讲DP基本都会讲到的一个问题LIS：longest increasing subsequence)

正如上面我们讲的，面对这样一个问题，我们首先要定义一个“状态”来代表它的子问题，并且找到它的解。注意，大部分情况下，某个状态只与它前面出现的状态有关，而独立于后面的状态。

让我们沿用“入门”一节里那道简单题的思路来一步步找到“状态”和“状态转移方程”。假如我们考虑求A[1],A[2],…,A[i]的最长非降子序列的长度，其中i<N，那么上面的问题变成了原问题的一个子问题(问题规模变小了，你可以让i=1,2,3等来分析)然后我们定义d(i)，表示前i个数中以A[i]结尾的最长非降子序列的长度。OK，对照“入门”中的简单题，你应该可以估计到这个d(i)就是我们要找的状态。如果我们把d(1)到d(N)都计算出来，那么最终我们要找的答案就是这里面最大的那个。状态找到了，下一步找出状态转移方程。

为了方便理解我们是如何找到状态转移方程的，我先把下面的例子提到前面来讲。如果我们要求的这N个数的序列是：

5，3，4，8，6，7

根据上面找到的状态，我们可以得到：（下文的最长非降子序列都用LIS表示）

• 前1个数的LIS长度d(1)=1(序列：5)
• 前2个数的LIS长度d(2)=1(序列：3；3前面没有比3小的)
• 前3个数的LIS长度d(3)=2(序列：3，4；4前面有个比它小的3，所以d(3)=d(2)+1)
• 前4个数的LIS长度d(4)=3(序列：3，4，8；8前面比它小的有3个数，所以d(4)=max{d(1),d(2),d(3)}+1=3)

OK，分析到这，我觉得状态转移方程已经很明显了，如果我们已经求出了d(1)到d(i-1)，那么d(i)可以用下面的状态转移方程得到：

d(i) = max{1, d(j)+1},其中j<i,A[j]<=A[i]

用大白话解释就是，想要求d(i)，就把i前面的各个子序列中，最后一个数不大于A[i]的序列长度加1，然后取出最大的长度即为d(i)。当然了，有可能i前面的各个子序列中最后一个数都大于A[i]，那么d(i)=1，即它自身成为一个长度为1的子序列。

分析完了，上图：(第二列表示前i个数中LIS的长度，第三列表示，LIS中到达当前这个数的上一个数的下标，根据这个可以求出LIS序列)

package com.dp;

public class LCS {
   
    public int[] getLen(int[] arr,int n){
         int len=0;
//         arr=new int[n];//传入的序列
         int[] dp=new int[n];//记录以第i个数结尾的子序列的长度
         for(int i=0;i<n;i++){
             dp[i]=1;//默认所有任何以第i个数结尾的子序列的非递减的长度是1(初始状态)
             for(int j=0;j<i;j++){
                 if(arr[i]>=arr[j]&&(dp[i]<dp[j]+1))//寻找前面比arr[i]小的子序列，寻找子序列中最大的长度
                     dp[i]=dp[j]+1;
             }
//             len=dp[i]>len?dp[i]:len;
         }
         return dp;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={1,3,2,5};
        int[] a=new LCS().getLen(arr, 4);
        for(int i=0;i<a.length;i++){
            System.out.println(a[i]);
        }
//        System.out.println(new LCS().getLen(arr, 4));
    }
}