六角幻方--详解第五届蓝桥杯大赛Java本科B组决赛真题

六角幻方

题目要求：

把 1 2 3 ... 19 共19个整数排列成六角形状，如下：

    * * *
   * * * *
  * * * * *
   * * * * 
    * * *

要求每个直线上的数字之和必须相等。共有15条直线哦！

再给点线索吧！我们预先填好了2个数字，第一行的头两个数字是：15 13，参见下图

黄色一行为所求。

请你填写出中间一行的5个数字。数字间用空格分开。

这是一行用空格分开的整数，请通过浏览器提交答案，不要填写任何多余的内容（比如说明性的文字等）

解析：这是一道典型的dfs（深度优先搜索）算法题目，可是细想一下，还有问题！题目要求15条直线上每条直线数字之和相等，这个要怎样判断？这19个位置又要怎样存储？二维数组？可是每行长度不一致！

一开始确实有点摸不着头脑，小弟不才，下面我说一下我的方法，未必是最优解法，但是能解出来，算是抛砖引玉，哪位大牛如果有更优解法，欢迎交流

先说下我的大致思想，然后再上代码：

1.首先这19个数存在一个5*5的二维数组中，尽管除了第3行其他行后面都会空出一或两个位置，但是这并不影响最终结果

2.使用常规dfs算法，依次递归求解，递归过程中注意在合适的位置加以判断（判断每行的累加和是否相等），判断结果可以用来“剪枝”（具体解释看代码）

3.通过dfs算法，依次填入数字到数组中，过程中一旦满足某一行数字已经填满，那就直接判断当前行的累加和是否和其他行一样，若满足则继续递归寻找下一个，不满足就没必要继续递归，注意一定要及时判断，而不是留到最后再判断，这样便于降低时间复杂度

下面是代码，代码注释很多，请仔细看注释：

package _2014年国赛B组;public class 第二题 {private static boolean vis[] = new boolean[19];private static int sum = 0;public static void main(String[] args) {int[][] num = new int[5][5];num[0][0] = 15;num[0][1] = 13;vis[14] = true;vis[12] = true;//这里表示第1行第3列开始dfsdfs(num,0,2);}/** * 这个是递归实现dfs的方法 * @param num 存储的数组 * @param x 当前正在查找的行 * @param y 当前正在查找的列 */private static void dfs(int[][] num, int x, int y) {if(x==5&&y==0){//这里打印最终结果！syso(num);return;}//依次从1循环到19for(int i = 1;i<20;i++){//如果当前数字i已经被使用，直接continue，加快循环if(vis[i-1]){//这里vis下标之所以i-1，是因为i从1开始，所以vis数组下标从0到18分别依次对应i的值为1到19！//这是第一次“剪枝”但是这种情况下算法时间复杂度依然很高，必须再次剪枝（在下方）continue;}else{//当前数字i没有被占有，那就把数字给num数组，并且让对应的vis数组为true//表示数字i被占有，防止其他位置再次使用该数字vis[i-1] =true;num[x][y] = i;//这里测试当前第x行第y列数组放数字i时，数组是否满足题目条件test(num,x,y);//测试完表示当前数字i已经使用完毕，把vis数组归位vis[i-1] = false;}}}private static void test(int[][] num, int x, int y) {//这里需要分情况讨论，首先每行的列数不一样，但是明显有规律//规律就是第x行最多有4-|x-2|列（数学规律，很容易观察出）//所以需要判断当前y值与4-|x-2|的大小关系，如果y<4-|x-2|//说明当前列还不是这一行的最后一列,那下次递归就是dfs(num,x,y+1);//num表示当前数组，x是行，y+1是列if(y<4-Math.abs(x-2)){//这里当y<4-|x-2|时，需要分情况看，分别是x =2,3,4时要特殊判断if(x==2){//x=2，y=0时，判断最左上那条直线是否满足累加和与其他直线相等if(y==0){//如果相等那就递归下一列if(num[0][0]+num[1][0]+num[2][0]==sum){dfs(num,x,y+1);}//这里没有写else，因为当不满足上面if条件时已经没必要继续递归下一列了//所以直接退出test即可，这里可以加个return，更好理解（其实不加也是直接结束了test，下面的ifelse都是没有机会执行的）//这是第二次“剪枝”，加快循环进行}else{//这里else是跟着if(y==0)的，不要搞错！dfs(num,x,y+1);}}else if(x==3){//x=3，y=0同上，不再解释if(y==0){if(num[0][1]+num[1][1]+num[2][1]+num[3][0]==sum){//这里if满足条件，继续递归，不满足就相当于直接return，这是第3次“剪枝”dfs(num,x,y+1);}}else{//这里else也是跟着if(y==0)的，不要搞错！dfs(num,x,y+1);}}else if(x==4){//x=4，y=0同上，不再解释if(y==0){//这里if满足条件，继续递归，不满足就相当于直接return，这是第4次“剪枝”if(num[2][0]+num[3][0]+num[4][0]==sum&&num[0][2]+num[1][2]+num[2][2]+num[3][1]+num[4][0]==sum){dfs(num,x,y+1);}}else if(y==1){//这里if满足条件，继续递归，不满足就相当于直接return，这是第5次“剪枝”if(num[1][0]+num[2][1]+num[3][1]+num[4][1]==sum&&num[1][3]+num[2][3]+num[3][2]+num[4][1]==sum){dfs(num,x,y+1);}}else{dfs(num,x,y+1);}}else{//这里else表示当x=0,1时直接递归dfs(num,x,y+1);}}else{//else表示当前行的列数已经足够，要换行了//如果x=0，表示当前第1行已经填满，可以计算出第一行的累加和，便于后续和这个累加和比较if(x==0){sum = num[0][0]+num[0][1]+num[0][2];dfs(num,x+1,0);}else{//else表示当x！=0时，即当前不是第一行填满时要计算当前行的累加和//这里计算第x行累加和，存入temp中（这里直接把5列都加上了，实际也可以加个判断，只加前4-|x-2|列）int temp = num[x][0]+num[x][1]+num[x][2]+num[x][3]+num[x][4];//如果相等，进一步判断，否则相当于return（尽管我没明写return，但逻辑上是一样的）if(sum==temp){if(x==2){//x=2表示当前第3行已经填满，需要判断六边形右上角直线是否满足要求if(num[0][2]+num[1][3]+num[2][4]==sum){//这里if满足条件，继续递归，不满足就相当于直接return，这是第6次“剪枝”dfs(num,x+1,0);}}else if(x==3){//x=3同理，判断右上第二条直线if(num[0][1]+num[1][2]+num[2][3]+num[3][3]==sum){//这里if满足条件，继续递归，不满足就相当于直接return，这是第7次“剪枝”dfs(num,x+1,0);}}else if(x==4){//x=4同理，这里需要判断两条直线if(num[2][4]+num[3][3]+num[4][2]==sum&&num[0][0]+num[1][1]+num[2][2]+num[3][2]+num[4][2]==sum){//这里if满足条件，继续递归，不满足就相当于直接return，这是第8次“剪枝”dfs(num,x+1,0);}}else{//这个else表示x=1时直接递归下一层dfs(num,x+1,0);}}}}}/** * 这个方法就是循环输出最终结果 * @param num 待输出的数组 */private static void syso(int[][] num) {StringBuilder sb = new StringBuilder(); for(int i = 0;i<5;i++){for(int j = 0;j<5-Math.abs(i-2);j++){//这里题上没有严格要求行末不能有空格，所以就没有判断直接输出了sb.append(num[i][j]).append(" ");}sb.append("\n");}System.out.println(sb.toString());}}

输出结果如下：15 13 10 14 8 4 12 9 6 5 2 16 11 1 7 19 18 17 3 

上面就是全部代码，该加的注释，我都加的非常详细了最后总结下，这道题就是在原来dfs的基础上多加几个判断罢了，添加判断时一定要细心，还要记得及时剪枝，加快循环，可以快速得出结果

实测我的机器是1600ms左右出结果，实际上这道题目，一开始我并没有剪枝，导致点了运行程序就去吃饭去了，半个小时后回来居然还没有运行完，所以剪枝操作一定要加上，毕竟这19个数字的全排列时间复杂度是O(n!)，所以越早判断，越早剪枝，越容易加快速度，降低时间复杂度，得出结果！