费马小定理
来源:互联网 发布:nginx pathinfo 404 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 00:40
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
引理1.
若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)
证明:ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)
证明:ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2.
设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
证明:若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理1则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在2个整数ba和ba[j]同余.所以ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.
设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
证明:若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理1则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在2个整数ba和ba[j]同余.所以ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.
构造素数 的完全剩余系
因为 ,由引理2可得
也是p的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质,
即
易知 ,同余式两边可约去 ,得到
这样就证明了费马小定理。[1]
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