数组11：数组中的逆序对（﹡）

题目：在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述:

题目保证输入的数组中没有相同的数字

数据范围：

       对于%50的数据,size<=10^4

       对于%75的数据,size<=10^5

       对于%100的数据,size<=2*10^5

思路：

方法1：遍历数组，每遍历一个元素在遍历这个元素后面的元素，时间复杂度为O(n^2)

方法2：归并排序的思想（归并排序利用的是分治的思想，由拆分和合并两个步骤组成，拆分和合并都需要递归调用来实现）

即先将数组不断的分割成两个部分，通过递归不断的分成两个部分，直到最后每一半只有1个元素为止停止递归，显然对于当个元素来说，其逆序对为0，然后逐一进行合并，7和5合并时由于left、right子数组内部的逆序对都是0，因此只要计算合并时产生的逆序对数目即可，同时要求合并后的数组排序，排序后在内部就没有逆序对了，从而不会对后续的逆序对寻找差生影响，同时排序后对于合并时确定逆序对的数目很方便（这也是归并排序中的做法，先二分再合并，共要进行logn次合并，每次合并时要进行排序，排序要遍历两个子数组并记录较小值从而需要消耗时间复杂度O(n)以及空间复杂度O(n)，从而归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。本题中空间复杂度为O(n)，归并排序优化后可以做到空间复杂度为O(1)）。

每次合并merge方法中如何计算有多少逆序对？

已知左右两个子数组left，right是有序的，设置两个指针，分别在左右两个数组的第一个元素leftPoint、rightPoint上面，比较两个数值大小，如果leftPoint<rightPoint，表示这两个数不构成逆序对，于是将leftPoint++，再次比较；如果leftPoint> rightPoint,说明这是一个逆序对，并且leftPoint后面的数都比leftPoint要大，所以与rightPoint都可以构成逆序对，所以由leftPoint产生的逆序对数目是leftPoint数组中leftPoint以及后面元素的数目即middle-leftPoint+1；然后将rightPoint++再次比较leftPoint和rightPoint。当left、right两个数组遍历完成后就可以知道在合并过程中产生的逆序对的数目；在leftPoint和rightPoint的比较过程中，除了计算逆序对数目之外还要对合并后的数组排序，排序在leftPoint和rightPoint逐一比较的过程中进行，每次leftPoint和rightPoint比较，将较小的值放入到创建的temp[]数组上面，如果left或者right一侧的数组提前遍历完成，呢么逆序对不再增加，将right或者left数组中剩下的元素全部直接复制到temp[]中即可；最终当left和right数组遍历合完成后这个数组对应在temp中就是有序的，由于下一次合并在array[]数组基础上进行而不是在temp基础上进行，因此需要将temp[]从start到end的部分重新对array进行覆盖。

理解：归并排序分成“分”和“并”两个部分，分别用divide()方法和merge()方法来实现功能，其中divide()方法是递归方法，merge()方法不是递归方法，因此在divide()方法中需要有终止递归循环的边界条件，同时在divide()方法中要调用自身divide()方法和merge()方法实现下一层子数组的拆分和合并，即在divide()方法里面除了递归调用自身方法进行进一步的分割之外还要调用merge方法对分割后的子数组进行合并。在主函数中，只要给定初始边界条件，然后直接调用divide()方法即可解决问题，当然也可以在主函数中先自己分割一次得到left数组和right数组，在对两个数组递归调用divide方法再进行合并，但是这没有必要，可以省略，如程序所示。此外还要注意取模不仅要在返回结果时取模还要在程序中用到count的地方都是用取模，避免溢出。

//找逆序对较复杂，这里使用分治思想，利用归并排序来找逆序对，就是在归并排序的基础上，在每次合并时对逆序对进行了统计而已，关键还是熟练使用递归。

public class Solution {    //定义一个成员变量用来统计逆序对的数目    int count;    public int InversePairs(int [] array) {        //特殊输入和边界输入        if(array==null||array.length<=0) return 0;        //使用递归方法不断进行拆分和合并        //创建一个数组用来在合并时存储排序后的数        int tempArray[]=new int[array.length];        int middle=(0+array.length-1)/2;        //对左数组进行拆分合并得到左数组的逆序对数目        this.divide(array,tempArray,0,array.length-1);        //①对右数组进行拆分合并得到右数组的逆序对数目,注意这里①②不需要写,直接写divide就可以        //this.divide(array,tempArray,middle+1,array.length-1);        //②对左右两个数组进行合并计算合并时产生的逆序对数目        //this.merge(array,tempArray,0,array.length-1);        //count在方法调用的过程中不断增长，方法结束时count就是结果，将其返回即可        return count%1000000007;    }    //这个方法用来将数组进行拆分,在start~end范围之间进行拆分    public void divide(int[] array,int[] tempArray,int start,int end){        int middle=(start+end)/2;        //左数组范围是start~middle；右数组范围是middle+1~end        //拆分递归方法的终止条件        if(start>=end) return;        //如果没有终止就递归调用继续拆分        this.divide(array,tempArray,start,middle);        this.divide(array,tempArray,middle+1,end);        this.merge(array,tempArray,start,end);    }         /*这个方法用来对两个已经排序的子数组进行合并，将其重新排序并且记录合并时产生的逆序对数目，将在start和end范围之内的数组进行合并，    显然这个两个数组的分界点是(start+end)/2*/    public void merge(int[] array,int[] tempArray,int start,int end){        int middle=(start+end)/2;        //左侧子数组是从start~middle；右侧子数组是从middle+1~end        //现将其合并排序，统计逆序对数目        int leftPoint=start;        int rightPoint=middle+1;        //理解：每次调用merge()方法只是对start到end范围内的数据进行排序,因此用tempPoint指针来记录临时数组中填充进的数字的位置        int tempPoint=start;       //对两个子数组进行遍历，直到一个数组遍历结束，防止数组访问越界        while(leftPoint<=middle&&rightPoint<=end){            //不构成逆序对,count不变，将较小的数值放入到temp数组中            if(array[leftPoint]<array[rightPoint]){                tempArray[tempPoint]=array[leftPoint];                leftPoint++;                tempPoint++;            }else{                //构成逆序对,统计逆序对的数目，并将较小值放入到temp数组中                //注意细节：由于count可能很大，因此最后输出时采用对10000000007取模作为输出，实际上不仅在最后返回时可能溢出，在方法执行中操作                //count时也可能发生溢出，因此在方法中任何用到count的地方，都使用取模后的值作为参与相加运算的值，避免中途溢出                count=count%1000000007+((middle-leftPoint+1)%1000000007);                tempArray[tempPoint]=array[rightPoint];                rightPoint++;                tempPoint++;            }        }                //循环结束，表示有一个子数组已经遍历完成到达边界，此时count不变，将另一个数组中的值全部复制到temp数组中即可        if(leftPoint<=middle){            //右侧数组遍历完成,将左侧复制到temp即可            while(leftPoint<=middle){                tempArray[tempPoint]=array[leftPoint];                leftPoint++;                tempPoint++;            }        }else if(rightPoint<=end){            //左侧的数组遍历完成，将右侧剩余数字复制到temp即可            tempArray[tempPoint]=array[rightPoint];            tempPoint++;            rightPoint++;        }                //子数组已经合并完成，count已经统计，此时将temp中start到end部分的数组覆盖到array中，从而保证下一次合并时两个子数组是有序的，注意临时数组temp使用过后可以覆盖。        for(int i=start;i<=end;i++){            array[i]=tempArray[i];        }    }}

对一些小地方进行合并简化之后的代码：public class Solution {    private long count;    public int InversePairs(int [] array) {        if(array==null||array.length==0)            return 0;        int[] temp=new int[array.length];        divid(array,temp,0,array.length-1);        return (int)(count%1000000007);    }    public void divid(int[]array,int []temp,int low,int high){        if(low>=high)            return;        int mid=(low+high)/2;        divid(array,temp,low,mid);        divid(array,temp,mid+1,high);        merge(array,temp,low,high);    }    public void merge(int[]array,int[]temp,int low,int high){        int lowend=(low+high)/2;        int highpos=lowend+1;        int temppos=low;        int len=high-low+1;        while(low<=lowend&&highpos<=high){            if(array[low]<=array[highpos]){                temp[temppos++]=array[low++];//简化写法，节省代码            }else{                count+=(lowend-low+1)%1000000007;  //改为count=count%1000000007+((middle-leftPoint+1)%1000000007);才通过                temp[temppos++]=array[highpos++];         //简化写法，节省代码            }        }        while(low<=lowend){            temp[temppos++]=array[low++];        }        while(highpos<=high){            temp[temppos++]=array[highpos++];        }        for(int i=len;i>0;i--,high--){//for循环中一个分号可以写多个条件            array[high]=temp[high];        }    }}