51nod_1256 乘法逆元

原题链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1256

                                1256.乘法逆元

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题 收藏 关注
给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。
Input
输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)
Output
输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。
Input示例
2 3
Output示例
2

这道题目是欧几里德算法求乘法逆元，数论没有系统的学习过，好久没做，以前学的都忘了。

参考博客：http://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/52060404

1.扩展欧几里德

对于扩展欧几里德，百度百科上面的证明就很详细，这里贴一小段参考：
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然
存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
代码实现：
int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
if (b==0){
x=1,y=0;
return a;
}
int q=gcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return q;
}

求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

2.求逆元

本题是一道求逆元的题目，求一个k，使得k*m=1(mod n)
条件：m小于n并且m,n互质。
方法：扩展欧几里德得到：xm+yn=1 ->xm(mod n)+0=1(mod n)，可以得到逆元x（注意x可能为负数）。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>typedef long long ll;ll ExGcd(ll x, ll y, ll &a, ll &b){    if (y == 0)    {        a = 1;        b = 0;        return x;    }    ll tmp = ExGcd(y, x%y, a, b);    ll t = a;    a = b;    b = t - x/y*b;    return tmp;}ll inverse(ll m, ll n){    ll x, y;    ll gcd = ExGcd(m, n, x, y);    if (gcd == 1)        return (x%n + n) % n;    return -1;}int main(){    ll m, n;    scanf("%lld%lld", &m, &n);    printf("%lld\n", inverse(m, n));    return 0;}