[机器学习]矩阵的奇异值与特征值有什么相似之处与区别之处？

矩阵可以认为是一种线性变换，如果将这种线性变换放在几何意义上，则他的作用效果和基的选择有关。

以Ax = b为例，x是m维向量，b是n维向量，m,n可以相等也可以不相等，表示矩阵可以将一个向量线性变换到另一个向量，这样一个线性变换的作用可以包含旋转、缩放和投影三种类型的效应。

比如说：

A=[3001][xy]=[3xy]

其几何意义为在水平x方向上拉伸3倍，y方向保持不变的线性变换，这就是缩放；而如果前面乘的矩阵不是对称矩阵，那么则对应几何意义上的缩放加旋转。
奇异值分解正是对线性变换这三种效应的一个析构。A=μΣσ，μ和σ是两组正交单位向量，Σ是对角阵，对角值s表示奇异值，它表示我们找到了μ和σ这样两组基，A矩阵的作用是将一个向量从σ这组正交基向量的空间旋转到μ这组正交基向量空间，并对每个方向进行了一定的缩放（乘个缩放因子），缩放因子就是各个奇异值，然后再在μ旋转回去。如果σ维度比μ大，则表示还进行了投影。可以说奇异值分解将一个矩阵原本混合在一起的三种作用效果，分解出来了。

而特征值分解其实是对旋转缩放两种效应的归并。（有投影效应的矩阵不是方阵，没有特征值）特征值，特征向量由Ax=λx得到，它表示如果一个向量v处于A的特征向量方向，那么Av对v的线性变换作用只是一个缩放。也就是说，求特征向量和特征值的过程，我们找到了这样一组基，在这组基下，矩阵的作用效果仅仅是存粹的缩放。对于实对称矩阵，特征向量正交，我们可以将特征向量式子写成A=xλx^T，这样就和奇异值分解类似了，就是A矩阵将一个向量从x这组基的空间旋转到x这组基的空间，并在每个方向进行了缩放，由于前后都是x，就是没有旋转或者理解为旋转了0度。
总而言之，特征值分解和奇异值分解都是给一个矩阵(线性变换)找一组特殊的基，特征值分解找到了特征向量这组基，在这组基下该线性变换只有缩放效果。而奇异值分解则是找到另一组基，这组基下线性变换的旋转、缩放、投影三种功能独立地展示出来了。
又因为有投影效应的矩阵不是方阵，没有特征值，所以奇异值分解可以适用于所有矩阵，但特征值分解就仅仅适用于方阵了。