素数筛选

素数：又称质数（prime number），有无限个。
质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。
判断一个数n是否为素数：从2开始到sqrt(n)是否有可以整除n的数，若存在，则不为素数；否则为素数。
时间复杂度：O（sqrt(n)）

题目1047：素数判定时间限制：1 秒内存限制：32 兆特殊判题：否提交：14099解决：6378题目描述：给定一个数n，要求判断其是否为素数（0,1，负数都是非素数）。输入：测试数据有多组，每组输入一个数n。输出：对于每组输入,若是素数则输出yes，否则输入no。样例输入：13样例输出：yes

#include <iostream>#include<math.h>/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */using namespace std;int n;bool isPrime(int n){    bool ans=true;    int bound=sqrt(n);    for(int i=2;i<=bound;i++){        if(n%i == 0){            ans=false;            break;        }    }    return ans;}int main(int argc, char *argv[]) {    while(cin>>n){        if(n>1 && isPrime(n) == true){            cout<<"yes"<<endl;        }else{            cout<<"no"<<endl;        }    }    return 0;}

素数筛选法：
原理：若一个数不是素数，则必存在一个小于它的素数因子。
当获得一个素数时，即将它所有的倍数进行标记为非素数。
当一个数没有被标记，则表明其为素数。
可能存在一个数没有被标记但是是非素数吗？
假设存在一个非素数N，它没有被标记，即N不存在一个比它小的素数因子，也就是N除了1和N以外没有能够整除N的数，那么N就是个素数，与假设矛盾。因此，不可能存在一个数没有被标记却是非素数。

题目1163：素数时间限制：1 秒内存限制：32 兆特殊判题：否提交：13205解决：4627题目描述：输入一个整数n(2<=n<=10000)，要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，如果没有则输出-1。输入：输入有多组数据。每组一行，输入n。输出：输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数(素数之间用空格隔开，最后一个素数后面没有空格)，如果没有则输出-1。样例输入：100样例输出：11 31 41 61 71来源：2008年北京航空航天大学计算机研究生机试真题

代码：

#include <iostream>#define N 10001  //筛选出2-10000之间的所有素数using namespace std; /*     输入一个整数n(2<=n<=10000)，    要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，    如果没有则输出-1。*/int prime[N];  //保持筛选出的素数int primelength=0;   //记录筛选出的素数的个数int mark[N];void findPrime(){    //素数筛选    //1.初始化所有数字都没有被标记     for(int i=0;i<N;i++){        mark[i]=false;    }     //2.开始筛选     for(int i=2;i<N;i++){        if(mark[i] == true){            continue;  //该数已经标记了         }        mark[i]=true;  //否则就标记该数        prime[primelength++]=i;         //cout<<i<<endl;        for(int j=i*i;j<N;j+=i){  //标记i的倍数            mark[j]=true;        }     }} int main(int argc, char *argv[]) {    //1.预处理筛选出素数    findPrime();      //2.从筛选出的素数选择出符合条件的素数     int n;    while(cin>>n){        bool exits=false;  //标记是否有满足条件的素数         for(int i=0;i<primelength;i++){            if(prime[i] < n ){                if(prime[i]%10 == 1){                    if(exits == false){ //第一个素数                         cout<<prime[i];                    }else{                         cout<<" ";                         cout<<prime[i];                    }                    exits=true;                }            }else{  //素数已经大于n，则停止                 break;            }         }        if(exits == false){            cout<<"-1";        }        cout<<endl;    }     return 0;}

其中素数筛选的模板为：

#include <iostream>#define N 10001  //筛选出2-10000之间的所有素数using namespace std; /*     输入一个整数n(2<=n<=10000)，    要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，    如果没有则输出-1。*/int prime[N];  //保持筛选出的素数int primelength=0;   //记录筛选出的素数的个数int mark[N];void findPrime(){    //素数筛选    //1.初始化所有数字都没有被标记     for(int i=0;i<N;i++){        prime[i]=false;    }     //2.开始筛选     for(int i=2;i<N;i++){        if(mark[i] == true){            continue;  //该数已经标记了         }        mark[i]=true;  //否则就标记该数        prime[primelength++]=i;         //cout<<i<<endl;        for(int j=i*i;j<N;j+=i){  //标记i的倍数            mark[j]=true;        }     }} 

其中判定i为素数时，标记从i*i开始而不是2*i的原因是
k * i（ k < i ） 的数已经在求得k的素因数的时候标记了。