动态规划——背包问题（一）

一、01背包问题

问题：
有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用于问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品（部分或全部）恰放入一个容量为v的背包可以获得最大价值，则其状态转移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}。
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是从它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放，第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值c[i]。
代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int w[1001],f[201][201],c[1001],n,m;int main(){    scanf("%d%d",&m,&n);    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);    }    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int v=m;v>0;v--){            if(w[i]<=v){                f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);            }            else{                f[i][v]=f[i-1][v];            }        }    }    printf("%d",f[n][m]);    return 0;}

如何优化：
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来的二位数组f[i][0..v]的所有值。那么如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]两个子问题递推而来的，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推出f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中找到我们以v=V..0的逆序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-w[i]]保存的是状态f[i-1][v-w[i]]的值。
伪代码如下:

for i=1..N;  for v=V..0;    f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};

其中f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}相当于转移方程f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i])因为现在的f[v-w[i]]就相当于原来的f[i-1][v-w[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的完全背包最简洁的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
优化代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int w[1001],c[1001],f[1001],n,m;int main(){    scanf("%d%d",&m,&n);    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);    }    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int v=m;v>=w[i];v--){            if(f[v-w[i]]+c[i]>f[v]){                f[v]=f[v-w[i]]+c[i];            }        }    }    printf("%d",f[m]);    return  0;}

二、完全背包问题

问题：
有N件物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i件物品的费用是w[i]价值是c[i]。求解哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大.
基本思路：
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品都无限件，也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件，取1件，取2件……很多种。如果仍然按照理解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]|0<=k*w[i]<=v}。
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其他类型的背包问题。
代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,w[1001],c[1001],f[201][201];int main(){    scanf("%d%d",&m,&n);    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);    }    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int v=1;v<=m;v++){            if(v<w[i]){                f[i][v]=f[i-1][v];            }            else{                if(f[i-1][v]>f[i][v-w[i]]+c[i]){                    f[i][v]=f[i-1][v];                }                else{                    f[i][v]=f[i][v-w[i]]+c[i];                }            }        }    }    printf("%d",f[n][m]);    return 0;}

如何优化：
伪代码：

for i=1..N;  for v=0..V;    f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};

这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]},将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
优化代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int w[1001],c[1001],n,m,f[1001];int main(){    scanf("%d%d",&m,&n);    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);    }     for(int i=1;i<=n;i++){        for(int v=w[i];v<=m;v++){            if(f[v-w[i]]+c[i]>f[v]){                f[v]=f[v-w[i]]+c[i];            }        }    }    printf("%d",f[m]);    return 0;}