分治算法

问题描述

在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

解题思路

分析：当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘(a)所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。

实现

如下图所示：算法chessBoard(tr, tc, dr, dc, size)调用的结果是标记出“左上角坐标(tr,tc)、特殊方格坐标(dr,dc) 、长宽均为size格”区域的L型骨牌覆盖方案。

根据分治的思想将该区域分为相等的4个部分，特殊方格(红色)落在左上1/4区域，图中3个黄色方格则可以看作左下、右上、右下这3个1/4区域的特殊方格，因此算法chessBoard(tr, tc, dr, dc, size)可以递归地分解为以下几步：

将一个L型骨牌覆盖3个黄色方格；//采用对方格标记骨牌号的方式表示覆盖

chessBoard(tr, tc, dr, dc, s)；

chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s)；

chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s)；

chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s)；

（1）代码实现

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

int nCount = 0;

int Matrix[100][100];

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, intdc, int size); //声明函数

int main()

{

   int size,r,c,row,col;

   scanf("%d",&size);

   scanf("%d%d",&row,&col);

    chessBoard(0,0,row,col,size);

   for (r = 0; r < size; r++)

    {

       for (c = 0; c < size; c++)

       {

           printf("%2d ",Matrix[r][c]);

       }

       printf("\n");

    }

   return 0;

}

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, intdc, int size)

{

   //tr and tc represent the top left corner's coordinate of the matrix

   int s,t;

    if(1 == size) return;

    s= size/2; //The number ofgrid the matrix's edge

    t= ++ nCount;

 

    //在右下角找到特殊网格

   if (dr < tr + s && dc < tc +s)

    {

       chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);

    }

   else

    {

       Matrix[tr+s-1][tc+s-1] = t;

       chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);

    }

    //在左下角找到特殊网格

   if (dr < tr + s && dc >= tc + s )

    {

       chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);

    }

   else

    {

       Matrix[tr+s-1][tc+s] = t;

       chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);

    }

    //在右上角找到特殊网格

   if (dr >= tr + s && dc < tc + s)

    {

       chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);

    }

   else

    {

       Matrix[tr+s][tc+s-1] = t;

       chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);

    }

    //在左上角找到特殊网格

   if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)

    {

       chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);

    }

   else

    {

       Matrix[tr+s][tc+s] = t;

       chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);

    }

}

 

（2）程序结果

输入 2 1 1，结果如下：

输入 4 1 1，结果如下：

输入 8 1 1，结果如下：