动态规划 0-1背包问题

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？
根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里， f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(0)   V(i,0)=V(0,j)=0 (1)   V(i,j)=V(i-1,j)  j< wi  (2)   V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

import java.util.Scanner;public class BackPack {    public static void main(String[] args) {    int n=5;//物品数    int maxV = 0;//获得的最大价值    int w[]={0,2,2,6,5,4};//物品的重量,前面填0防止数组越界    int v[]={0,6,3,5,4,6};//物品的价值    int c=10;//背包重量    int V[][]=new int[6][11];//V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值    dp(w,v,c,n,maxV,V);    System.out.println(V[5][10]);    }    private static void dp(int[] w, int[] v, int c, int n, int maxV,int [][]V) {        for(int i=1;i<=5;i++)        {            for(int j=1;j<=c;j++)            {                if(j<w[i])                    V[i][j]=V[i-1][j];                else{                    V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);                }            }        }    }    private static int  max(int a,int b) {        return a>b?a:b;    }}

输出：
15