HDU

题意：给定x（x <= 1000000000），求 max（s| s = a1 + a2 +……+ an 且 a1 + a2 + …… + an = x （ai != aj, i != j））。

思路：显然要使s最大，那么n要尽可能大，因为1对乘积没有影响，所以a1从2开始，找到最大的n使a1 + a2 + …… + an <= x, 即 n * (a1 + an) <= x,可以求得n。可以设剩下的长度为k，把k平均分给这n个数，如果k不足n，那么分给最大的k个。得到新的a1，a2,a3 ak ak+1,an.

然后就可以分情况讨论了,如果得到的序列是连续的，可以直接求。如果是两段，记下这两端的端点分别为k1, k2, k3, k4.先求第一段sum1 = k2! / k1! mod (1e9 + 7)。同理第二段sum2 = k4!/k3! mod (1e9+7).

那么问题来了怎么求k2! / k1! mod (1e9 + 7)，直接求不好求。这里就需要用到逆元，如果求 a / b mod p,那么它就等于a乘以b的逆，只要求出b的逆问题就解决了。这里用1/n!表示n的阶乘的逆。 1/n! = (n + 1) * 1 / (n+1)!用递推式求得所有n的阶乘的逆。

n的阶乘的逆可以用由费马小定理，a^(p-1)≡ 1(mod p)(p为素数)，稍作变形即是 a * a^(p-2)≡ 1(mod p)，是不是发现了，a^(p-2)即是a的逆元，这个可以用快速幂来求。

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>#include<vector>#include<cmath>#include<set>#include<cstring>#include<map>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 1e6 + 10;const int maxt = 100200;const int inf = 0x3f3f3f3f;const ll INF = 0x7f7f7f7f7f;const int mod = 1e9 + 7;const double pi = acos(-1.0);const double eps = 1e-8;ll quick_inverse(ll ret, int n){ // 快速幂    ll sum = 1;    while(n){        if(n & 1) sum = sum * ret % mod;        ret = ret * ret % mod;        n >>= 1;    }    return sum;}ll ni[maxn];ll ji[maxn];void init(){    ll sum = 1;    ji[0] = 1;    for(int i = 1; i <= 100000; ++i){        ji[i] = ji[i - 1] * i % mod;    }//阶乘打表    ni[100000] = quick_inverse(ji[100000], mod - 2);    for(int i = 99999; i >= 0; --i) // 阶乘的逆打表        ni[i] = ni[i + 1] * (i + 1) % mod;}void solve(int x){    ll  tt = 9 + 8LL * x;    ll t = sqrt(tt);    int n = (t - 3) / 2; //由一元二次方程（n + 3） * n / 2 = x 解得    for(int i = 1; ; ++i){ //使n最大        if((ll)(n + 1 + 3) * (ll)(n + 1) / 2 <= x){                n++;        }        else break;    }    ll sheng = x - (n + 3) * n / 2;     int k1 = 2, k2 = n + 1;    int k3 = -1;    while(sheng){        if(sheng >= n){            k1 += sheng / n;            k2 += sheng / n;            sheng %= n;        }        else{            k2++;            k3 = k2 - sheng;            sheng = 0;        }    }    if(n == 1) printf("%d\n", x);    else if(k3 != -1){        ll ans = ji[k2] * ni[k3] % mod;        ans = (((ans * ji[k3 - 1])%mod) * ni[k1 - 1]) % mod;        printf("%lld\n", ans);    }    else{        ll ans = ji[k2] * ni[k1 - 1] % mod;        printf("%lld\n", ans);    }}int main(){    int T, kase = 0;    init();    scanf("%d", &T);    while(T--){        int x;        scanf("%d", &x);        if(x == 1) printf("1\n");        else solve(x);    }    return 0;}