乘法逆元小结

乘法逆元的定义貌似是基于群给出的，比较简单地理解，可以说是倒数的概念的推广。记a的关于模p的逆元为a^-1,则a^-1满足aa^-1≡ 1(mod p)

加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。

在mod p的运算中，a存在乘法逆元当且仅当a与p互质。一般题目给的是一个大质数，所以只要a不是p的倍数，就以求乘法逆元。

目前了解到的求法有三种：
1.扩展欧几里得。aa^-1≡ 1(mod p)，可以转换为aa^-1 + py = 1，即是扩展欧几里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最常用的解法。

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1. int x, y;  

2. int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)  

3. {  

4.     if (b == 0){  

5.         x = 1;  

6.         y = 0;  

7.         return a;  

8.     }  

9.     int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);  

10.     int tmp = x;  

11.     x = y;  

12.     y = tmp - (a/b) * y;  

13.     return gcd;  

14. }  

15.   

16. /* 

17. 求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函数返回值是a,b的最大公约数，而x即a的逆元。 

18. 注意a, b不能写反了。 

19. */  

2.由费马小定理a^(p-1)≡ 1(mod p)(p为素数)，稍作变形即是 aa^(p-2)≡ 1(mod p)，是不是发现了，a^(p-2)即是a的逆元，这个可以用快速幂来求。

3.网上看到的一个很厉害的o(n)的递推，求前n个逆元，不知道是怎么推出来的，但是可以简单地证明一下正确性(要求所mod p为素数)。

首先，1的逆元是1，没什么疑问。
假设前i个数的逆元已经求出，那么
i^-1 = (p%i)^-1 * (p - [p/i]) % p。其中[]表示去尾取整。
(p%i)^-1其实就是(p-[p/i]i)^-1，然后我们左右乘以i，
ii^-1 = (p-[p/i]i)^-1 * ((i-1)p + p-[p/i]i) % p，
其实就是ii^-1 = k^-1 * ((i-1)p + k) % p = 0 + 1 = 1，这样就证完了＝。＝

//字体真糟糕。。

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1. int[] inv = new int[MAXN];  

2. inv[1] = 1;  

3. for (int i = 2; i<MAXN; i++)  

4.     inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;  

 

 

 

今天我们来探讨逆元在ACM-ICPC竞赛中的应用，逆元是一个很重要的概念，必须学会使用它。

 

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

 

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

 

推导过程如下

                            

 

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）

 

           

 

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

 

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

 

          

 

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

 

          

逆元详解:   http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787