Probabilistic Latent Semantic Analysis
主题模型简介
plsa，也就是概率隐语义分析，是主题模型的一种。主题模型是什么呢？先从文档说起，每篇文档用bag-of-words模型表示，也就是每篇文档只与所包含的词有关，而不考虑这些词的先后顺序。假设文档集D有N篇文档，主题模型认为在这N篇文档中一共隐含了Z个主题，每篇文档都可能属于一个或多个主题，这可以用给定文档d时所属主题z的概率分布p(z|d)表示。同理，一个主题下可以包含若干个词w，用概率分布p(w|z)表示。
所以，如果我们有文档集D，又求出对应这个文档集的主题模型，那这有什么意义呢？最明显的意义就是，这相当于给文档聚类了，并且聚类的结果有更合理的解释性。因为我们不但可以知道每一篇文档d属于哪个类别z，我们还可以根据概率p(w|z)知道这个主题的关键词是哪些，从而给这个主题z设置合理的标签。知道文档所属的类别，我们就可以判断两篇文档在语义上是否相似了。虽然可以直接根据文档向量的余弦距离来判断它们是否相似，但是这对近义词就无能为力，比如两篇同样介绍电子产品的文档，一篇大量用“苹果”这个关键词，而另一篇大量用“iPhone”，那么通过余弦距离判断的这两个维度上肯定是不相似的。而“苹果”、“iPhone”两个词都与电子产品关系很大，所以这两篇文档可以都属于同一个主题，也就可以断定他们语义上是相似的。
主题模型的用处还是很多的，在推荐系统，舆情监控等等，都有广泛的用途。
plsa原理
介绍完主题模型的基本概念，就要回到本文的重点，给定一个文档集D，如何估计主题模型的参数呢？接下来说明如何用plsa来求出这些参数。先放一张图
首先介绍一下图中参数：d代表每一篇文档，z表示每一个隐含主题，w表示具体的单词。N表示每篇文档的单词数，M表示文档集D内的文档数。
plsa是一个生成模型，它假设了d，w，z之间的关系通过上图的贝叶斯网络 所表示。灰色的节点d和w表示我们能够观测到的变量，也就是具体的文档与文档中的词。白色的节点z就是隐含的主题变量。每篇文档的生成过程是
1. 以概率p(d)选定文档。
2. 以概率p(z|d)选定一个主题。
3. 以概率p(w|z)从主题中选定单词。
我们需要估计的参数就是p(z|d)与p(w|z)，后文有些地方用θ来表示他们。先不管我们知不知道z是什么，用极大似然估计试试。n(d,w)表示某篇文档d中的词w出现的次数，这个直接统计得到。p(d,w)就是观测到变量d与w的联合概率分布。写出似然函数
L(θ)=∏d∏wp(d,w)n(d,w)
再写出log似然函数
LL(θ)=∑d∑wn(d,w)logp(d,w)=∑d∑wn(d,w)[logp(d)+logp(w|d)]
其中
p(w|d)=∑zp(w|z)p(z|d)
所以待求解的问题就是
argmaxθLL(θ)=argmaxθ∑d∑wn(d,w)[logp(d)+log∑zp(w|z)p(z|d)]
p(d)与需要估计的参数无关，这一项直接舍去不影响结果，得到
argmaxθLL(θ)=argmaxθ∑d∑wn(d,w)log∑zp(w|z)p(z|d)
现在问题来了，z是隐含变量，无法观测到，怎么去最大化这个公式呢？假设我们已知在观测d，w下z的概率分布p(z|d,w)，再对上面的公式做一个变换，同时乘上和除以p(z|d,w)
argmaxθLL(θ)=argmaxθ∑d∑wn(d,w)log∑zp(z|d,w)p(w|z)p(z|d)p(z|d,w)
那么上式log的右边就变成了关于z的函数的期望Ez，式子变成
argmaxθLL(θ)=argmaxθ∑d∑wn(d,w)logEz[p(w|z)p(z|d)p(z|d,w)]
根据Jensen不等式有
logEz[p(w|z)p(z|d)p(z|d,w)]≥Ez[logp(w|z)p(z|d)p(z|d,w)]
那么在已知p(z|d,w)的条件下我们就可以得到LL(θ)的一个下界函数Q(θ)，如果这个下界函数可以求最大化，我们就最大化它以估计我们所需的参数。然后根据新的参数求p(z|d,w)，再写出新的下界函数，再最大化…反复迭代直至收敛。这就是将EM算法应用到plsa的求解中。
其中
Ez[logp(w|z)p(z|d)p(z|d,w)]=∑zp(z|d,w)[logp(w|z)P(z|d)−logp(z|d,w)]
而logp(z|d,w)与我们所需要求的参数无关(因为假设它是已知的值)，将它舍去不影响求解。需要求解的问题就变成了
argmaxθQ(θ)=argmaxθ∑d∑wn(d,w)∑zp(z|d,w)logp(w|z)P(z|d)
根据贝叶斯定理，可以得到
p(z|d,w)=p(d,z,w)p(d,w)=p(d)p(z|d)p(w|z)p(d)∑zp(z|d)p(w|z)=p(z|d)p(w|z)∑zp(z|d)p(w|z)(1)
补充说明一下，求p(z|d,w)是求解p(z(k)|d(i),w(j))，也就是我们需要遍历每一个隐含主题z，每一篇文档d，每一个词w。而此时的p(z(k)|d(i))与p(w(j)|z(k))我们是当做已知的，初始化的时候随机给一个值。
到这里已经讲完了用EM算法的E步。归纳一下，在plsa的情境下，E步就是求出所有的p(z(k)|d(i),w(j))。
接下来是M步，最大化Q(θ)，求出新的参数p(z|d)与p(w|z)。应用拉格朗日数乘法求解出新的参数
pnew(w(j)|z(k))=∑dn(d,w(j))pold(z(k)|d,w(j))∑d∑wn(d,w)pold(z(k)|d,w)(2)
pnew(z(k)|d(i))=∑wn(d(i),w)pold(z(k)|d(i),w)∑w∑zn(d,w)pold(z|d(i),w)(3)
总结一下，plsa刚开始理解很难，只要理解了怎么求期望(E步)，怎么求最大化(M步)，然后根据推导出来的公式编程就很简单了。基本上就分为统计所有的n(d,w)，选定主题数|Z|，然后初始化所有的参数p(z(k)|d(i))和p(w(j)|z(k))，接下来根据不断的迭代，每一次迭代先用公式(1)求p(z|d,w)，然后根据公式(2)和(3)更新参数。直到收敛，收敛条件可以是|Q(θt+1)−Q(θt)|<ϵ，也可以是两次迭代参数的差值小于某个阈值。
完整的Python实现代码见我的github
