中国剩余定理整理

来源：互联网发布：知乎新ipad和ipadpro 编辑：程序博客网时间：2024/06/07 23:23

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

int CRT(int a[],int m[],int n){    int M = 1;    int ans = 0;    for(int i=1; i<=n; i++)        M *= m[i];    for(int i=1; i<=n; i++)    {        int x, y;        int Mi = M / m[i];        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;    }    if(ans < 0) ans += M;    return ans;}

题目：http://poj.org/problem?id=1006

题意：人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一

天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日

期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少

再过多少天后三个峰值同时出现。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;int a[4], m[4];void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return;    }    extend_Euclid(b, a % b, x, y);    int tmp = x;    x = y;    y = tmp - (a / b) * y;}int CRT(int a[],int m[],int n){    int M = 1;    int ans = 0;    for(int i=1; i<=n; i++)        M *= m[i];    for(int i=1; i<=n; i++)    {        int x, y;        int Mi = M / m[i];        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;    }    if(ans < 0) ans += M;    return ans;}int main(){    int p, e, i, d, t = 1;    while(cin>>p>>e>>i>>d)    {        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)            break;        a[1] = p;        a[2] = e;        a[3] = i;        m[1] = 23;        m[2] = 28;        m[3] = 33;        int ans = CRT(a, m, 3);        if(ans <= d)            ans += 21252;        cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;    }    return 0;}

普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

那么得到

在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解，再带入

得到后合并为一个方程的结果为

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

题目：http://poj.org/problem?id=2891

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1005;LL a[N], m[N];LL gcd(LL a,LL b){    return b? gcd(b, a % b) : a;}void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return;    }    extend_Euclid(b, a % b, x, y);    LL tmp = x;    x = y;    y = tmp - (a / b) * y;}LL Inv(LL a, LL b){    LL d = gcd(a, b);    if(d != 1) return -1;    LL x, y;    extend_Euclid(a, b, x, y);    return (x % b + b) % b;}bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3){    LL d = gcd(m1, m2);    LL c = a2 - a1;    if(c % d) return false;    c = (c % m2 + m2) % m2;    m1 /= d;    m2 /= d;    c /= d;    c *= Inv(m1, m2);    c %= m2;    c *= m1 * d;    c += a1;    m3 = m1 * m2 * d;    a3 = (c % m3 + m3) % m3;    return true;}LL CRT(LL a[], LL m[], int n){    LL a1 = a[1];    LL m1 = m[1];    for(int i=2; i<=n; i++)    {        LL a2 = a[i];        LL m2 = m[i];        LL m3, a3;        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))            return -1;        a1 = a3;        m1 = m3;    }    return (a1 % m1 + m1) % m1;}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=1; i<=n; i++)            scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);        LL ans = CRT(a, m, n);        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

分析：这个题由于数据范围小，那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数，找到最小的正整

数解，然后后面的所有解都可以通过这个得到。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;const int N = 25;int a[N], b[N];int gcd(int a, int b){    return b ? gcd(b, a % b) : a;}int main(){    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        int n, m;        cin>>n>>m;        for(int i=0; i<m; i++)            cin>>a[i];        for(int i=0; i<m; i++)            cin>>b[i];        int lcm = 1;        for(int i=0; i<m; i++)            lcm = lcm / gcd(lcm, a[i]) * a[i];        bool f = 1;        for(int i=1; i<=lcm&&i<=n; i++)        {            f = 1;            for(int j=0; j<m; j++)            {                if(i % a[j] != b[j])                    f = 0;            }            if(f)            {                printf("%d\n",(n - i) / lcm + 1);                break;            }        }        if(f == 0)            printf("0\n");    }    return 0;}

转自：here

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