算法时间复杂度和空间复杂度

1.算法时间复杂度

算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)= O(f(n))。
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

关键需要知道执行次数==时间
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？

整理了以下攻略：
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
4.得到的最后结果就是大O阶。


常数阶:
int sum = 0, n = 100;
printf(“hello”);
printf(“hello”);
printf(“hello”);
sum = (1+n)*n/2;
时间复杂度为O(1)
第一条就说明了所有加法常数给他个O(1)即可。

线性阶:
一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长。
int i , n = 100, sum = 0;
 
for( i=0; i < n; i++ )
{
    sum = sum + i;
}
上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。

平方阶:
刚才是单个循环结构，那么嵌套呢？
int i, j, n = 100;
 
for( i=0; i < n; i++ )
{
    for( j=0; j < n; j++ )
    {
        printf(“hello”);
    }
}
n等于100，也就是说外层循环每执行一次，内层循环就执行100次，那需要执行100*100次，也就是n的平方。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

int i, j, n = 100;
 
for( i=0; i < n; i++ )
{
    for( j=i; j < n; j++ )
    {
        printf(“I love FishC.comn”);
    }
}

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，内循环则执行n-1次……当i=n-1时，内循环执行1次，所以总的执行次数应该是：
n+(n-1)+(n-2)+…+1 = n(n+1)/2
n(n+1)/2 = n^2/2+n/2
用我们推导大O的攻略，第一条忽略，因为没有常数相加。第二条只保留最高项，所以n/2这项去掉。第三条，去除与最高项相乘的常数，最终得O(n^2)。


对数阶:
int i = 1, n = 100;
 
while( i < n )
{
    i = i * 2;
}
由于每次i*2之后，就距离n更近一步，假设有x个2相乘后大于或等于n，则会退出循环。
于是由2^x = n得到x = log(2)n，所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

函数的时间复杂度:

int i, j;
for(i=0; i < n; i++) 
{
    function(i);
}
void function(int count) 
{
printf(“%d”, count);
}
函数体是打印这个参数，这很好理解。function函数的时间复杂度是O(1)，所以整体的时间复杂度就是循环的次数O(n)。

假如function是下面这样，又该如何呢：
void function(int count) 
{
    int j;
    for(j=count; j < n; j++) 
    {
        printf(“%d”, j);
    }

}

n+(n-1)+(n-2)+…+1 = n(n+1)/2
n(n+1)/2 = n^2/2+n/2

function内部的循环次数随count的增加(接近n)而减少，所以根据攻略，算法的时间复杂度为O(n^2)。

常见的时间复杂度：

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：O(1) < O(logn) < (n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

平均运行时间是期望的运行时间，最坏运行时间是一种保证。
在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

2.算法的空间复杂度：

我们在写代码时，完全可以用空间来换去时间。

举个例子说，要判断某年是不是闰年，你可能会花一点心思来写一个算法，每给一个年份，就可以通过这个算法计算得到是否闰年的结果。
另外一种方法是，事先建立一个有2050个元素的数组，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，则此数组元素的值是1，如果不是元素的值则为0。
 
这样，所谓的判断某一年是否为闰年就变成了查找这个数组某一个元素的值的问题。
第一种方法相比起第二种来说很明显非常节省空间，但每一次查询都需要经过一系列的计算才能知道是否为闰年。
第二种方法虽然需要在内存里存储2050个元素的数组，但是每次查询只需要一次索引判断即可。
 
这就是通过一笔空间上的开销来换取计算时间开销的小技巧。到底哪一种方法好？其实还是要看你用在什么地方。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

通常，我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”指空间需求。
当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。
显然对时间复杂度的追求更是属于算法的潮流！