【软考总结】-<算法>动态规划法--最长公共子序列

一、什么是最长公共子序列？

   公共子序列：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。（子序列Y中的字符在X中不一定是连续的。

   最长公共子序列：找到的所有子序列中，字符最长的序列。

 

二、如何求解？

 

       方法一：穷举法：列出X的所有子序列，一一检查是否是Y的子序列，记录所发现的公共子序列，最终求出最长公共子序列

       无疑，方法一是很费时费力的；

       方法二：刻画最长公共子序列问题的最优子结构

 

求解：

        引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

        我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i]= Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

         问题的递归式写成：

                                        

这个递归式可以解释为：

     1、当比较不开始时，两个序列没有公共序列；

     2、当两个序列比较时，比较的两个字符相同，公共序列的长度为前一个已经计算出的公共序列的长度+1；

     3、当两个序列比较时，比较的两个字符不同，公共序列的长度有两个，分别是两个序列在前一个状态下所求出的公共序列的长度，要这两个公共序列中最长的一个。

    注意，这里c[i][j]是公共序列的长度，不是具体的公共序列，以二维数组的方式存储，i和j可以看做是在坐标系中的横纵坐标。

                   

 Java代码如下：

Public class LCSProblem{/** *初始化**/publicstaticvoidmain(String[]args){String[]x={"","A","B","C","B","D","A","B"};   //初始化序列X；String[]y={"","B","D","C","A","B","A"};       //初始化序列Y；int[][]b=getLength(x,y);                      //将两个序列的最长公共序列的长度值记录在二维数组b中；Display(b,x,x.length-1,y.length-1);           //输出；/** *计算最长公共子序列的长度**/Public static int[][]getLength(String[]x,String[]y){int[][]b=new int[x.length][y.length];         //初始化数组b，记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。int[][]c=new int[x.length][y.length];         //初始化数组c，记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度。//填充矩阵for(int i=1;i<x.length;i++){for(int j=1;j<y.length;j++){if(x[i]==y[j]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;   //1代表指向左上方的箭头}elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=0;   //0代表指向上方的箭头}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=-1;  //-1代表指向左方的箭头}}}Return b;}

  用箭头的指向，表示序列中有公共的值时，该解是在求解哪个子问题的基础上得来。

/** *输出最长公共子序列**/void PrintLCS(int b[][], char x, int i, int j){    if(i == 0 || j == 0)         //两个字符串中任意一个长度为0；        return  null;    if(b[i][j] == 1)                  //箭头指向左上方    {        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);        printf("%c ", x[i-1]);     //输出两个序列相同的字符    }    else if(b[i][j] == 0)      //箭头指向上方        PrintLCS(b, x, i-1, j);    else                                           //箭头指向左方        PrintLCS(b, x, i, j-1);}

三、复杂度：

     

      时间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的时间，回溯时我们花费了O（M+N)的时间，两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。

      空间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的空间，标记函数也花费了O(MN)的空间，两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。

 

四、应用：

        查重，相似度分析，查找最长递增子序列等；

        这些应用，你有没有想到呢？

参考资料：

http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_54f82cc20100zi4b.html

http://blog.csdn.net/amazingcode/article/details/51694332