CF806 D

题意：
给出n个点完全图，边有边权。枚举x=1~n，找出一棵以x为根的生成树，定义每个点到根的距离di为到根路径上最小的边权，生成树的花费为∑di。对于每个x，找出最小花费。

#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cmath>#include<iostream>#define N 2100#define inf (1e9)+10using namespace std;int a[N][N],n,f[N][2],p[2*N][2],head,tail;bool b[N][2];void spfa(){    int lim=2*n+1,head=1,tail=1;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=0;j<=1;j++)            f[i][j]=inf;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            if(a[i][j]==0)            {                f[i][0]=0;                p[tail][0]=i;p[tail][1]=0;                tail++;                b[i][0]=1;                break;            }    while(head!=tail)    {        int i=p[head][0],j=p[head][1];        for(int k=1;k<=n;k++)        {            if(k==i) continue;            int t=min(1ll*f[i][j]+1ll*(j+1)*a[i][k],(long long)inf);            if(t<f[k][0])            {                f[k][0]=t;                if(b[k][0]==0)                {                    b[k][0]=1;                    p[tail][0]=k;                    p[tail][1]=0;                    tail++;                    if(tail>lim) tail=1;                }            }            if(j==0)            {                t=f[i][j];                if(t<f[k][1])                {                    f[k][1]=t;                    if(b[k][1]==0)                    {                        b[k][1]=1;                        p[tail][0]=k;                        p[tail][1]=1;                        tail++;                        if(tail>lim) tail=1;                    }                }            }        }        b[i][j]=0;        head++;        if(head>lim) head=1;    }}int main(){    scanf("%d",&n);    int t=inf;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i][i]=inf;        for(int j=i+1;j<=n;j++) {scanf("%d",&a[i][j]);a[j][i]=a[i][j];t=min(t,a[i][j]);}    }    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(i==j) continue;            a[i][j]-=t;        }    spfa();    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",1ll*f[i][0]+1ll*(n-1)*t);    return 0;}

题解:
当x为根时，生成树的形态一定是以x为首的一条链加上若干个点连在链尾，并且链最末尾的一条边是权最小的边之一。
先把所有边权减去最小边权，最后加回来，方便处理。
将所有最小权边的两端标记出来。
现在问题变成对每个点x，找出到标记的点的最短路，并且可以用先走的边权代替后走的边权。
不妨从标记点开始找，让后走的边权代替先走的边权。
一个朴素的想法是f[i][j]表示走到点i，有j条边要使用后面的边权的最短路。f[i][j]可以转移到f[k][0]或f[k][j+1]。然而这样边数是O(n3)的，spfa不资磁。。
但是考虑做最短路的目的是找到一个标记点，走到很多个中间点显然不是什么好方案。具体来说，从i走j条边到k，只是为了使用最后一条边权(s,k)，那为什么不直接i->s->k呢？所以f[i][j]中的j只需要取0,1。
然后就做完辣。。