编程能力提高-----循环的设计技巧（for、while）

  循环是程序设计中接触最多code。在进行数值计算的时候，循环往往是用来做累加或累乘的。累加和累乘都有通用的数学模型：Sn=Sn−1+An和Tn=Tn−1∗An。根据这两个数学模型，很容易构造出循环体。

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例1：实现一个函数,求1+2+3+…+100的和。

int sum (int n){    int s=0;    for(int i=1;i<=n;i++)        s=s+i;               //累和，超级简单。    return s;}

例2：设计求 n!（n为正整数）的算法。

long long int fun (int n){    long long int f=1;    for(int i=1;i<=n;i++)        f=f*i;               //累积，超级简单。    return f;}

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但在编程中，问题往往既涉及累加式又涉及到累乘式。如下面这个题目：

例3：设计求1/1!−1/3!+1/5!−1/7!+...+(−1)n+1/(2n−1)!（n为正整数）的算法。

分析问题：
首先，数学模型为：Sn=Sn−1+(−1)n+1/(2n−1)!。
其次，累加的对象是一个累积的结果。
所以，初学者很容易想到利用二重循环实现该算法。

int main(){    int i,j,n,sign=1;      //i、j为循环控制变量,n为问题规模    float s=1,t=1;         //s累和,t累积    scanf("%d",&n);    for(i=2；i<=n;i++)    {        t=1;        for(j=1;j<=2*i-1;j++)            t*=j;        sign=1;        for(j=1;j<=i+1;j++)            sign=sign*(-1);        s=s+sign/t;    }    printf("sum=%d",s);}

  对以上算法分析，是正确的，但是时间复杂度是O(n2)，效率低。因为在内循环中求出7!后，再去求9!时，没必要再从1去累乘到9，只需充分利用前一次的结果，用7!∗8∗9即可求得9!。所以数学模型修正为：An=An−1∗1/((2∗n−2)(2∗n−1))。另外sign=sign∗(−1);总共也要执行n∗(n−1)/2次乘法操作，这也是没必要的，用赋值运算效率更高，sign=−sign;。

数学模型2：Sn=Sn−1+(−1)n+1An；An=An−1∗1/((2∗n−2)(2∗n−1))。

int main(){    int i,n,sign=1;        //i为循环控制变量,n为问题规模    float s=1,t=1;         //s累和,t累积    scanf("%d",&n);    for(i=2；i<=n;i++)    {        sign=-sign;        t=t*(2*i-2)*(2*i-1);                s=s+sign/t;    }    printf("sum=%d",s);}

  该算法的时间复杂度为O(n)。由此可见，构造的循环不变式不同时，他们的效率也不同。对于比较难的问题，可以用“自顶向下”的设计方法，改变数学模型。

例4：设计求sin(x)=x−x3/3!+x5/5!−x7/7!......的算法。

/*sinx=x-x^3/3!+x^5/5-x^7/7!...*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>int main(){    int i=1,sign=1;    float x,t,fac=1,sinx=0;    scanf("%f",&x);    t=x;    do    {        sinx+=sign*t/fac;        t=t*x*x;                   //分子t初值为x        fac=fac*(i+1)*(i+2);       //分母fac初值为1        i+=2;        sign=-sign;    }while(fabs(t/fac)>=1e-7);    printf("%f\n",sinx);    return 0;}

算法分析：该算法在x的值较小时，计算的结果比较准确。但x=100等比较大的值时，误差较大。需要进一步改进。。。

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参考资料：《算法设计与分析》   第二版   吕国英
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