B树、B-树、B+树

一，B树（Binary Search Tree）

B树即二叉搜索树，二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：

1，若它的左子树非空，则左子树上所有节点的关键字小于根节点的关键字。

2，若它的右子树非空，则右子树上所有节点的关键字大于根节点的关键字。

3，左、右子树本身又各是一颗二叉排序树。

二，B-树

1，B-树的定义

B-树称为多路平衡查找树，是一种组织和维护外存文件系统非常有效的数据结构。B-树是所有节点的平衡因子均为0的多路查找树。B-树中所有节点的孩子节点最大值称为B-树的阶，通常用m表示。一颗B-树或者是一颗空树，或是满足下面要求的m次树：

（1），叶节点：

所有的叶子节点在同一层，并且不带信息。（这里的叶节点就是NULL节点）

（2），根节点

根节点或者没有子树，或者至少有两棵子树。

（3），非叶节点的子树的个数

至少有m / 2棵子树，至多有m - 1棵子树。

（4），非叶节点包含的信息

包含所有的关键字及指向相关记录的指针。

2，B-树的查找

在B-树中查找指定关键字的方法类似于二叉排序树上的查找，不同的是在每个记录上确定向下查找的路径不一定是二路的，而是多路的。因为一个节点内的关键字的序列是有序的，在一个节点内查找关键字可以使用顺序查找与折半查找。在一棵B-树上查找关键字k的方法为：将k与根节点中的 ki 进行比较

（1），若 k = ki，查找成功。

（2），若 k < k1，顺着指针p0所指的子树继续查找。

（3），若 ki < k <ki+1， 顺着指针pi所指的子树继续查找。

（4），若 ki > kn，顺着指针pn所指的子树继续查找。

3，B-树的特性

（1），关键字集合分布在整棵树中。

（2），任何一个关键字出现且只出现在一个节点中。

（3），搜索有可能在非叶子节点结束。

（4），其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找。

三，B+树

1，B+树的定义

B+树是B-树的一种变体，也是一种多路搜索树。一棵m阶B+树满足下面这些条件：

（1），叶节点：

叶子节点包含全部关键字及指向相应记录的指针，而且叶子节点按关键字大小顺序链接。

（2），根节点：

根节点或者没有子树，或者至少有两棵子树。

（3），非叶节点的子树的个数

至少有m / 2棵子树，至多有m棵子树。

（4），非叶节点包含的信息

仅包含它的各个子节点中最大关键字及指向子节点的指针。

2，B+树的特性

（1），所有的关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的关键字是有序的。

（2），不可能在非叶子节点命中。

（3），非叶子节点是叶子节点的索引，叶子节点相当于存储数据的数据层。

（4），更适合文件索引系统。

四，B-树与B+树之间的区别

1，叶节点

B-树：所有的叶子节点在同一层，并且不带信息。

B+树：叶子节点包含全部关键字及指向相应记录的指针。

2，非叶节点的关键字的个数

B-树：至少有m / 2 - 1个关键字，至多有m - 1个关键字。

B+树：至少有m / 2个关键字，至多有m个关键字。

3，非叶节点保存的信息

B-树：包含所有的关键字及指向相关记录的指针。

B+树：包含它的各个子节点中最大关键字及指向子节点的指针。

4，结构上的差别

B+树中所有的叶子节点都是通过指针链接在一起，而B-树不会这样做。

五，B-树与B+树各自的优点

1，B-树的优点

（1），对于在内部节点的数据，可以直接得到，不用根据叶子节点来定位。

2，B+树的优点：

（1），非叶节点不带有指向记录的指针，一个块中可能容纳更多的索引项。这样做一方面可以降低树的高度，另一方面可以定位更多的叶子节点。