Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法
来源:互联网 发布:淘宝客短网址生成器 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 06:10
之前我在博客里介绍过牛顿-拉弗逊迭代法,对数据挖掘技术熟悉的同学应该还知道有梯度下降法(其实也是一种迭代算法)。今天刚好有朋友和我讨论泊松图像融合算法,我说我过去文章里给出的是最原始、最直观的实现算法。对于理解泊松融合的原理比较有帮助,但是效率可能并不理想。印象中,泊松融合是有一个以矩阵为基础的快速算法的。但是过去我浅尝辄止了,也没深究,今天刚好再提到,小看了一下,似乎涉及高斯-塞德尔迭代法。好吧,博主君暂且把知道的这部分内容做个介绍吧。特别说明:以下内容主要取材自《数值方法(MATLAB版)(第四版)》马修斯等著,电子工业出版社2010年出版发行。
一、雅各比迭代法
考虑如下方程组:
上述方程可表示成如下形式:
这样就提出了下列雅可比迭代过程:
如果从
将
新的点
这个过程称为雅可比迭代,可用来求解某些类型的线性方程组。从上表中可以看出,经过19步选代,选代过程收敛到一个精度为9 位有效数字的近似值(2.00000000, 4.00000000, 3.00000000)。但有时雅可比迭代法是无效的。通过下面的例子可以看出,重新排列初始线性方程组后,应用雅可比迭代法可能会产生一个发散的点的序列。
设重新排列的线性方程组如下:
这些方程可以表示为如下形式:
这可以用如下雅可比迭代过程求解:
如果从
新的点
二、高斯-塞德尔迭代法
有时候通过其他方面可以加快迭代的收敛速度。观察由雅可比迭代过程(3)产生的三个序列{
设给定上述线性方程组并利用高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代过程求解:
如果从
将
将
将
新的点
代(7)生成序列{
正如前面讨论的,应用雅各比迭代法计算有时可能是发散的。所以有必要建立一些判定条件来判断雅可比迭代是否收敛。在给出这个条件之前,先来看看严格对角占优矩阵的定义。
设有
其中,
设第k点为
雅可比迭代:
其中
雅可比迭代使用所有旧坐标来生成所有新坐标,而高斯-塞德尔迭代尽可能使用新坐标得到更新的坐标。
高斯-塞德尔迭代:
其中
下面的定理给出了雅可比迭代收敛的充分条件。
(雅可比选代) 设矩阵
当矩阵
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