【java】最小生成树

航海家们在太平洋上发现了几座新岛屿，其中最大的一个岛已经连接到Internet，但是其它岛和主岛之间没有电缆连接，所以无法入网。我们的目的是让所有岛上的居民都能上网，即每个岛和主岛之间都有直接或间接的电缆连接。输入每两个岛屿之间的连接成本，要求给出最节省成本的方案。

先输入点的数量n，边的数量m，然后输入m行数据，每行数据包括起点u，终点v，成本weight，最后输出最优方案所选的边；

样例输入：

7 11
0 1 7
0 3 5
1 2 8
1 3 9
1 4 7
2 4 5
3 4 15
3 5 6
4 5 8
4 6 9
5 6 11

样例输出：

0 3 5
2 4 5
3 5 6
0 1 7
1 4 7
4 6 9

分析：本题的本质是无向图求最小生成树MST（Minimal Spanning Tree）。构造最小生成树的方法有很多，常见的有两个：Kruskal算法和Prim算法。

Kruskal算法

算法的第一步是把所有的边按权值从小到大排序，接下来依次遍历每条边(u,v)，分两种情况：

情况1：最小生成树中已经包含u和v，则跳过；

情况2：最小生成树不包含u或v，则加入该边。

性质：如果(u,v)的权值是所有边中最小的，则最小生成树一定包含该边。可用反正法证明，若不加入该边，那么对于没有该边的最优解T，加入该边将有一个环，该环中至少有一条边的权值比(u,v)大，因此加入(u,v)一定是最优的。

算法伪代码：

把所有边排序，记第i小的边为e[i]初始化MST为空for(int i=0;i<m;i++){初始化连通分量，让每个点自成一个独立的连通分量   if(e[i].u或e[i].v不在同一个连通分量中){    把e[i]加入MST    合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量   }}

在算法实现中，边的排序可直接使用库函数，判断两个点是否在同一个连通分量中，可使用并查集方法。

并查集：把每个连通分量看成一个集合，该集合包含了连通分量中的所有点，每个连通分量用树来表示该集合，每棵树的根节点是这棵树的代表元。

如果两个节点所在树的根节点相同，则代表这两个点在同一个连通分量中。使用路径压缩可加快遍历过程。

import java.util.Arrays;  import java.util.Scanner;    class Edge implements Comparable<Edge>{      int u;      int v;      int weight;      Edge(int u,int v,int weight){          this.u=u;          this.v=v;          this.weight=weight;      }      public int compareTo(Edge e) {          if(weight>e.weight)              return 1;          else if(weight<e.weight)              return -1;          return 0;      }  }  public class Main {public static int find(int[] p,int x){if(p[x]==x)return x;else return p[x]=find(p,p[x]); //查询父节点}    public static void main(String[] args){          Scanner scanner = new Scanner(System.in);          while(scanner.hasNext()){              int n=scanner.nextInt();              int m=scanner.nextInt();              Edge[] edges=new Edge[m];              for(int i=0;i<m;i++){                  int u=scanner.nextInt();                  int v=scanner.nextInt();                  int weight=scanner.nextInt();                  edges[i]=new Edge(u,v,weight);              }              Arrays.sort(edges);            int[] p=new int[n];            for(int i=0;i<n;i++)//初始化连通分量，每个点自成一个连通分量            p[i]=i;            for(int i=0;i<m;i++){                  int x=find(p,edges[i].u);                  int y=find(p,edges[i].v);                  if(x==y){                      continue;                  }else{                      p[x]=y;                     System.out.println(edges[i].u+" "+edges[i].v+" "+edges[i].weight);                  }              }          }          scanner.close();      }  }  

Prim算法

Prim算法

把点分成两个集合，A为已选中（已经在最小生成树中）的顶点，B未选中的顶点，循环n次，每次都是选择是跨越这两个集合最小的边。

先输入点的数量n，边的数量m，然后输入m行数据，每行数据包括起点u，终点v，成本weight，最后输出最小生成树的总权值；

样例输入：

7 11
0 1 7
0 3 5
1 2 8
1 3 9
1 4 7
2 4 5
3 4 15
3 5 6
4 5 8
4 6 9
5 6 11

样例输出：

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import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args){Scanner scanner = new Scanner(System.in);while(scanner.hasNext()){int n=scanner.nextInt();int m=scanner.nextInt();int[][] edges=new int[n][n];for(int i=0;i<m;i++){int u=scanner.nextInt();int v=scanner.nextInt();int weight=scanner.nextInt();edges[u][v]=weight;edges[v][u]=weight;}int[] dist=new int[n];//dist[i]存放结点i到已访问结点的最小权值Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);dist[0]=0;int[] visited=new int[n];int result=0;for(int i=0;i<n;i++){//循环n次，每次选出一个点加入到最小生成树int x=-1,min=Integer.MAX_VALUE;for(int j=0;j<n;j++){//选出未访问的结点中dist最小的结点if(visited[j]==0&&dist[j]<min){x=j;min=dist[j];}}result+=min;visited[x]=1;for(int k=0;k<n;k++){//更新dist值if(visited[k]==0&&edges[x][k]>0){if(dist[k]>edges[x][k])dist[k]=edges[x][k];}}}System.out.println(result);}scanner.close();}}

Prim算法和Dijkstra算法的异同

相同点：

二者都是采用贪心策略，代码结构类似；

不同点：

①Prim算法用于无权图生成最小生成树，Dijkstra算法用于无权图/带权图的单源最短路径。

②Prim算法中，dist数组保存的是结点i到已访问结点的最小权值；相应地，更新过程是dist[k]=edges[x][k]；

   Dijkstra算法中，dist数组保存的是源结点到结点i的最短路径长度；相应地，更新过程是dist[k] = dist[x]+edges[x][k]；

③Prim算法可以任选一个顶点作为起点，Dijkstra算法要有一个确定的起点。