算法时间复杂度
来源:互联网 发布:虚拟机里安装linux 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 01:58
1. 算法度量标准
算法设计的标准包括以下四个方面
- 正确性(correctness)
- 算法应满足用户的具体需求
- 可读性(readability)
- 算法应好读,利于读者对算法的理解
- 健壮性(robustness)
- 算法有好的容错能力,当输入异常或非法数据时,能够正确应对适当处理,不会产生莫名其妙的输出结果
- 时间和空间效率(time and space efficiency)
- 时间效率指的是算法的执行时间应足够短 ;空间效率指算法执行需要的最大存储空间应足够小
一个用高级程序语言编写的程序,在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素:
- 算法本身的策略
- 问题的规模(通常以符号N表示)
- 编译产生的代码质量
- 机器的执行指令的速度
第1条当然是决定一个算法好坏的根本,而第3条由软件决定,第4条由机器硬件决定。也就是说,抛开与计算机软件、硬件有关的因素,一个程序的运行时间,依赖于算法的好坏和问题的输入规模。
2. 时间复杂度
在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数。若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的时间复杂度,简称为时间复杂度。
推导O的方法:
- 用常数1取代运行时间中所有的加法常数, 计算出基本操作的执行次数T(n)
- 计算出T(n)的数量级,忽略常量、低次幂和最高次幂的系数,忽略常量、低次幂和最高次幂的系数
- 用大O来表示时间复杂度
O 的常用运算规则:
O(f)+O(g)=O(max(f,g))=O(f+g) O(f)O(g)=O(fg) O(cf)=O(f) (c为常数)
对数复杂度从何而来:如果一个算法用常数时间 O (1) 将问题的规模削减为原始问题的一部分,则该算法的复杂度为 O (logn)。例如幂运算、折半查找
3. 主定理
利用主定理可以计算递归/分治问题的时间复杂度:将原问题拆分成a个子问题,每个子问题的规模是n/b。f(n)表示分解与合并步骤共消耗的时间复杂度。
4. NP问题
- P是所有可在多项式时间内用确定算法求解的判定问题的集合
- 对于一个问题X,若存在一个算法XSolver,能在
O(nk) 时间内求解(k为某个常数),那么就称这个问题属于P
- 对于一个问题X,若存在一个算法XSolver,能在
- NP是所有可用多项式时间算法验证其猜测准确性的问题的集合
- 对于一个问题X,若存在一个算法XChecker,能在多项式时间复杂度内给出验证结果,那么就称这个问题属于NP
- NP-Complete的非形式化定义
- 如果一个问题属于NP,且该问题与NP中的任何问题是一样难(hard)的,则称该问题属于NPC,或称之为NP完全的( NP-Complete )
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