有限域基础13.2部分笔记
定义Zps[x]上的两个多项式f1和f2,如果存在两个Zps[x]上的多项式λ1和λ2,满足λ1f1+λ2f2=1,也即满足Zps[x]f1+Zps[x]f2=Zps[x]则称f1和f2在Zps[x]上是互素的。
对于λ1f1+λ2f2=1⇔Zps[x]f1+Zps[x]f2=Zps[x]的简单证明如下：
证明:
对于充分性而言,若λ1f1+λ2f2=1，则任取一个F∈Zps[x]并分别乘在等式两边有，(Fλ1)f1+(Fλ2)f2=F。由整数多项式环上乘法运算封闭易有Fλ1∈Zps[x],Fλ2∈Zps[x]。则该式表明对于任意的F∈Zps[x]，均有对应的Fλ1∈Zps[x],Fλ2∈Zps[x] 满足(Fλ1)f1+(Fλ2)f2=F。则按定义知Zps[x]⊆Zps[x]f1+Zps[x]f2。又由整数多项式环乘法运算和加法运算封闭知若Fλ1∈Zps[x],Fλ2∈Zps[x],f1,f2∈Zps[x]，则显然有(Fλ1)f1+(Fλ2)f2∈Zps[x],也即 Zps[x]f1+Zps[x]f2⊆Zps[x],故Zps[x]f1+Zps[x]f2=Zps[x]，充分性证毕。
对于必要性而言，我们易知因1∈Zps[x],则由Zps[x]f1+Zps[x]f2=Zps[x]知，必定存在两个λ1,λ2∈Zps[x],使得λ1f1+λ2f2=1,证毕。
基于以上定义，我们可以模仿之，用于定义两个域Fp[x]上的多项式的互素，也即若Fp[x]上的两个多项式互素，当且仅当它们没有度大于等于1的最大公因子。
Lemma 13.5 Let f1 and f2 ∈Zps[x].Then f1 and f2 are coprime in Zps[x] if and only if f¯1 and f¯2 are coprime in Fp[x]
证明之前，首先明确f1 和 f¯1的含义，前者为Zps[x]的一个多项式，后者是f1中每个系数mod p 之后的多项式。
例子：
若p=2 ,s=3 则Zps=Z8={0,1,2,3,4,5,6,7}
又f1∈Z8[x],也即f1中的x前面的任意系数ai∈Z8 ,不妨令f1=2x7+3x6+6x5+7x4+4x3+5x+7,则根据定义，f¯1=x6+x4+x+1,即只保留原f1中系数为奇数的x的幂次。
证明：
当s=1时,Zps[x]=Zp[x]，此时Zp={0,1,2,3,....p−1}。又f1∈Zp[x],
不妨设f1=amxm+am−1xm−1+...a1x1+a0接着，任取f1的一个系数记为a′，按定义a′可表示为a′=Cnpn+Cn−1pn−1+...C1p1+C0
且我们知道a′∈Zp={0,1,2,3,....p−1},故我们易有f1中的任意系数a′=C0。
以上结论可以用反证法证明，也即若设a′=Cnpn+Cn−1pn−1+...C1p1+C0，存在一个i>0 使得Ci≠0,那么显然有Cipi≥p, 即a′∉Zp这与已知条件a′∈Zp矛盾故a′=C0，证毕。从而我们有a′=C0=a′¯,进而我们有f1¯=f1及f2¯=f2故结论显然成立。
而当S>1时，我们假设f1¯和f2¯在域Fp[x]上互素，则对于λ1和λ2∈Zps[x],有λ¯1f1¯+λ¯2f2¯=1进而我们有λ1f1+λ2f2=1+pk,其中k∈Zps[x]。接着我们构造l=∑s−1i=0(−pk)i并将其分别乘于前式的等式两边，则有lλ1f1+lλ2f2=l(1+pk)对于右边，我们进一步展开有l(1+pk)=∑s−1i=0(−1)ipiki+∑s−1i=0(−1)ipi+1ki+1将和式展开，并裂项相消有l(1+pk)=(−1)p0k0+(−1)s−1psks显然在如若中 (−1)s−1psks=0故l(1+pk)=1也即lλ1f1+lλ2f2=1再次利用Zps[x]是整数多项式环，元素运算具有封闭性知lλ1∈Zps[x]和lλ2∈Zps[x]故最终我们可得lλ1f1+lλ2f2=1=λ1f1+λ2f2。因此f1和f2在Zps[x]上是互素的，反之亦然。
