线性回归



把监督式学习中关于房屋价格的例子稍作更改，除了原有数据，再加入卧室数量这一数据项。

居住面积(feet 2  )卧室数量价格(1000$s)2104340016003330240035401416223230004540………

现在输入变成了一个二维向量，其中x (i) 1  表示训练集中第i个房屋的居住面积，x (i) 2  表示第i个房屋的卧室数量。为了完成监督式学习，我们首先考虑如何将假设h 在计算机中实现。为此我们先假设y 是x 的一个线性函数：

h θ (x)=θ 0 +θ 1 x 1 +θ 2 x 2  

上式中θ 是将X 映射到Y 的线性函数的组成参数（也叫权重）。后文中会将h θ (x) 简写为h ( x) ，我们还可以令x 0 =1 （截距项的系数），则上式可简写为：

h(x) =θ 0 +θ 1 x 1 +θ 2 x 2 =θ 0 x 0 +θ 1 x 1 +θ 2 x 2 =∑ i=0 n θ i x i =θ T x  

构成h(x) 的θ 和x 都是列向量，n 是输入属性的个数（本例中是2）。要让预测值h(x) 接近目标变量期望y ，我们该如何选择参数θ 呢？我们引入成本函数的概念，让他表示h(x) 和y 的近似度：

J(θ)=12 ∑ i=1 m (h θ (x (i) )−y (i) ) 2 . 

由上面的最小方差成本函数衍生出最小方差回归模型。

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1 LMS算法

要选择合适的权重值θ 使得成本函数J(θ) 的值最小化。我们需要一个搜索算法，从某一随机值出发，不断地迭代更新最后收敛到成本函数最小的最优解。我们使用梯度下降算法，从初始θ 出发，不断重复以下操作：

θ j :=θ j −α∂∂θ j  J(θ). 

其中α 表示学习率，整个式子每次更新，就像是在J(θ) 下降最快的方向迈一小步，因此被称为梯度下降法。

将成本函数关于某一权重θ j  的偏导数展开：

∂∂θ j  J(θ) =∂∂θ j  12 (h θ (x)−y) 2 =2⋅12 (h θ (x)−y)⋅∂∂θ j  (h θ (x)−y)=(h θ (x)−y)⋅∂∂θ j  (∑ i=0 n θ i x i −y)=(h θ (x)−y)x j   

对于单个训练样本则有：

θ j :=θ j +α(y (i) −h θ (x (i) ))x (i) j . 

该方法被称为最小均方差更新法(Least Mean Squares)，也叫Widrow-Hoff学习法。这种方法直观而自然，我们可以看到当预测值与实际值接近时，权重变化就会很小；反之，权重就会变化很大，从逻辑而言这个公式也合情合理。

上面的公式只对单个训练样本，我们有两种方法可将其推广到整个训练集的回归，其一执行以下操作：

 Repeat until convergence {θ j :=θ j +α∑ i=1 m (y (i) −h θ (x (i) ))x (i) j (for every j)}   

它每次更新要遍历整个训练集，因此称为批梯度下降法。注意到，该方法确实有可能落入局部最优解的陷阱，但我们暂时只考虑仅含一个全局最优解的优化问题，这时该方法每次都能收敛到全局最优。

成本函数是一个凸二次函数，下面我们给一个梯度下降优化二次函数的图示：

上图的椭圆代表二次函数的等高线，折现的轨迹是梯度下降的路径，而其上的每个点则表示θ 梯度下降时的值，可以看到它从(48, 30)出发最后到达最优解(25, 25)。

如果我们使用梯度下降法求解之前仅有房屋面积的例子，可得θ 0 =71.27,θ 1 =0.1345 ，可绘制出下图：

将卧室数量也加入特征中，则求得：θ 0 =89.60,θ 1 =0.1392,θ 2 =−8.738 。

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除了批梯度下降，还有一种方法同样表现出色，它的运行步骤是这样的：

 Loop {for i=1 to m, {θ j :=θ j +α(y (i) −h θ (x (i) ))x (i) j (for every j)}}   

这种方法每遇到一个样本就更新一次权重，它被称为随机梯度下降法或增量梯度下降法。由于批梯度下降每走一步都要遍历训练集，当样本个数很大时，训练的时间成本就很高。随机梯度下降每遇一个样本就更新一次权重，普遍来说收敛速度会快于批梯度法（虽然有时会无法收敛到最优解，而是在最优解附近振荡，即使如此得到的近似依然很好）。当训练集很大时，随机梯度下降往往比批梯度下降更受欢迎。