深度增强学习David Silver（三）——动态规划的planning

本节课主要介绍：

• 策略评估（Policy Evaluation）
• 策略迭代（Policy Iteration）
• 价值迭代（Value Iteration）
• 动态规划（DP, Dynamic Programming）扩展
• 压缩映射

动态规划是一种用来解决复杂问题的方法，它把问题打碎成多个子问题，逐一解决，然后再合并起来。这些复杂问题通常具备两个性质：
1. 最优解能够被分解为子问题
2. 这些子问题可重复，能够被多次缓存和再使用

MDP满足这两个性质，bellman方程给出了迭代的分解，价值函数存储和再利用解决方案。动态规划可用于MDP中的planning。（Lecture01有提到planning和增强学习的不同。本节课主要讲planning，与增强学习无关。）

给定一个策略π，使用迭代的方法评估这个策略，根据vπ的值来选择行动：

vπ(s)=E[Rt+1+γRt+2+...|St=s]
vk+1(s)=∑a∈Aπ(a|s)(Ras+γ∑s′∈SPass′vk(s′))
通过贪心算法来改进策略：
π′=greedy(vπ)
根据贪心算法，每次策略都选在该状态下qπ(s,a)最大对应的行动：
π′=argmaxa∈Aqπ(s,a)
qπ(s,a)表示立即的奖励值加上之后的价值v，π′相对π有改进：
qπ(s,π′(s))=maxa∈Aqπ(s,a)≥qπ(s,π(s))=vπ(s)
vπ(s)表示执行策略π的奖励值，等于qπ(s,π(s))。接下来证明vπ′(s)≥vπ(s)：

vπ(s)≤qπ(s,π′(s))=Eπ′[Rt+1+γvπ(St+1)|St=s]≤Eπ′[Rt+1+γqπ(St+1,π′(St+1))|St=s]≤Eπ′[Rt+1+γRt+2+γ2qπ(St+2,π′(St+2))|St=s]≤Eπ′[Rt+1+γRt+2+...|St=s]=vπ′(s)

当不能再改进的时候：
qπ(s,π′(s))=maxa∈Aqπ(s,a)≥qπ(s,π(s))=vπ(s)
此时满足bellman最优方程：
vπ(s)=argmaxa∈Aqπ(s,a)
对于所有的s∈S，都满足vπ(s)=v∗(s)
因此π是最优策略。

最优化的思想：一个最优策略可以被分为两部分：第一步最优行动和从后继状态开始的最优策略。如果第一步最优，那么接下来才有可能是最优策略。

价值迭代：如果我们知道子问题的最优解v∗(s′)，那么对于后继状态是s′的状态s，都可以找到最优解：

v∗(s)←maxa∈ARas+γ∑s′∈SPass′v∗(s′)
这相当于从后往前，已知后面的信息，然后递推求前面的信息，求整个策略。

在Lecture02中有提及Bellman Expectation Equation和Bellman Optimality Equation。以下是同步的动态规划算法，也就是同时更新所有的状态，也就是根据旧信息得到新信息，需要为旧状态备份，直到得到所有新状态才更新。而异步动态规划是每更新一个状态，就马上把该状态的旧信息覆盖，没有固定的更新状态的顺序。