回溯法

一. 回溯法 – 深度优先搜素                       

1. 简单概述

       回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于：

• 图的深度优先搜索
• 二叉树的后序遍历

      【

         分支限界法：广度优先搜索

         思想类同于：图的广度优先遍历

                                二叉树的层序遍历

      】

2. 详细描述

        详细的描述则为：

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

3. 回溯法应用

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）                               

        回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

    //针对N叉树的递归回溯方法      void backtrack (int t)      {      <span style="white-space:pre">  </span>if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解      <span style="white-space:pre">  </span>else      <span style="white-space:pre">      </span>for i = 1 to k//当前节点的所有子节点      <span style="white-space:pre">      </span>{      <span style="white-space:pre">          </span>x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x      <span style="white-space:pre">          </span>//满足约束条件和限界条件      <span style="white-space:pre">          </span>if (constraint(t)&&bound(t))       <span style="white-space:pre">          </span>backtrack(t+1);  //递归下一层      <span style="white-space:pre">      </span>}      }<span style="font-family:SimHei;">      </span>  

2. 递推

      算法设计相对复杂，但效率高。

    //针对N叉树的迭代回溯方法      void iterativeBacktrack ()      {          int t=1;          while (t>0) {              if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点              {                  for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点                  {                      x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x                      if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件                       {                          //solution表示在节点t处得到了一个解                          if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出                          else t++;//没有得到解，继续向下搜索                      }                  }              }              else //不存在子节点，返回上一层              {                  t--;              }          }      }  

三. 子集树和排列树                                                        

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

    void backtrack (int t)      {        if (t>n) output(x);          else            for (int i=0;i<=1;i++) {              x[t]=i;              if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);            }      }<span style="font-family:SimHei;">      </span>  

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

    <span style="font-size:18px;">void backtrack (int t)      {        if (t>n) output(x);          else            for (int i=t;i<=n;i++) {              swap(x[t], x[i]);              if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);              swap(x[t], x[i]);            }      } </span><span style="font-family:SimHei;font-size:24px;">      </span>  

四. 经典问题                                    

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

1. 0-1背包问题

        问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
        分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

    #include <stdio.h>             #define N 3         //物品的数量      #define C 16        //背包的容量             int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量      int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值      int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入             int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量      int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值             int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0      int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入             //t = 0 to N-1      void backtrack(int t)      {          //叶子节点，输出结果          if(t>N-1)           {              //如果找到了一个更优的解              if(CurValue>BestValue)              {                  //保存更优的值和解                  BestValue = CurValue;                  for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];              }          }          else          {              //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包              for(int i=0;i<=1;++i)              {                  x[t]=i;                         if(i==0) //不放入背包                  {                      backtrack(t+1);                  }                  else //放入背包                  {       <span style="white-space:pre">             </span>//约束条件：放的下                      if((CurWeight+w[t])<=C)                      {      <span style="white-space:pre">                  </span>CurWeight += w[t];                          CurValue += v[t];                          backtrack(t+1);                          CurWeight -= w[t];                          CurValue -= v[t];                      }                  }              }              //PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁          }      }             int main(int argc, char* argv[])      {          backtrack(0);                 printf("最优值：%d\n",BestValue);                 for(int i=0;i<N;i++)          {             printf("最优解：%-3d",BestX[i]);          }          return 0;      }