Splay伸展树

伸展树（Splay Tree）是一种二叉排序树，能在最坏平摊LogN时间内完成插入、查找和删除操作。是一种自调整形式的二叉树，它会沿着某个节点到跟的路径，通过一系列旋转把这个节点搬到根节点去。

Splay树的基本操作：
1、旋转和伸展
2、查找
3、插入、删除
4、最大最小值
5、前驱后继
6、合并、分离
一般Splay的节点数据：

struct node{    int val,size;       //节点值，节点大小    node * ch[2],*fa;   //左右节点，父节点}*root=NULL;            

Splay旋转：

void Rotate(Node *&x,int c){//c==0 左旋 c==1右旋     Node *y=x->fa;    //PushDown(y);    //PushDown(x);    //PushDown(x->ch[c]);    y->ch[!c] = x->ch[c];    if(x->ch[c] != NULL) x->ch[c]->fa = y;    x->fa = y->fa;    if(y->fa != NULL)        if(y->fa->ch[0] == y) y->fa->ch[0] = x;        else y->fa->ch[1] = x;    x->ch[c] = y; y->fa = x;    //UpDate(y);    if(y == root) root=x;}

注意：前方高能

伸展操作：
情况一：节点x的父节点y是根节点。这时，如果x是p的左孩子，我们进行一次Zig（右旋）操作；如果x 是p 的右孩子，则我们进行一次Zag（左旋）操作。经过旋转，x成为二叉查找树的根节点，调整结束。即：如果当前结点父结点即为根结点，那么我们只需要进行一次简单旋转即可完成任务，我们称这种旋转为单旋转。如图1所示：

情况二：（一般称作“一字型旋转”）节点x 的父节点p 不是根节点，p 的父节点为g，且x 与p 同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zig操作或者Zag-Zag操作。即：设当前结点为x ， x 的父结点为p ，p 的父结点为g ，如果p 和x 同为其父亲的左孩子或右孩子，那么我们先旋转p ，再旋转x 。如图2所示：

情况三：（一般称作“之字型旋转”）节点x的父节点p不是根节点，p的父节点为g，x与p中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zag操作或者Zag-Zig 操作。即：这时我们连续旋转两次X 。如图3所示：

说明：这种情况先将x转到它的父亲的位置上，再与g旋转

SPLAY伸展操作代码:

// node 为结点类型，其中ch[0]表示左结点指针，ch[1]表示右结点指针  // pre 表示指向父亲的指针  void Rotate(Node *&x,int c){//c==0 左旋 c==1右旋     Node *y=x->fa;    //PushDown(y);    //PushDown(x);    //PushDown(x->ch[c]);    y->ch[!c] = x->ch[c];    if(x->ch[c] != NULL) x->ch[c]->fa = y;    x->fa = y->fa;    if(y->fa != NULL)        if(y->fa->ch[0] == y) y->fa->ch[0] = x;        else y->fa->ch[1] = x;    x->ch[c] = y; y->fa = x;    //UpDate(y);    if(y == root) root=x;} void Splay(Node *&cur,Node *&f){//将cur转到f的位置     for(PushDown(cur); cur != f ;){        if(cur->fa == f)             if(f->ch[0] == cur) Rotate(cur,1);            else Rotate(cur,0);        else {            Node *y = cur->fa,*z = y->fa;            if(z->ch[0] == y)                if(y->ch[0] == cur)                    Rotate(y,1),Rotate(cur,1);//yi                else Rotate(cur,0),Rotate(cur,1);//zhi            else if(y->ch[1] == cur)                    Rotate(y,0),Rotate(cur,0);//yi                else Rotate(cur,1),Rotate(cur,0);//zhi            if(z==f) break;        }        //UpDate(cur);    }    //UpDate(cur);} 

如果说要把某个节点转到根的位置，你可以假设还有一个须根，当前树的根永远吊在须根上！！（个人心得、仅供参考）

Splay树的递归建立
当建树节点的值是有序的时候，可以利用递归方式建树，类似于线段树的建树方式，效率还是比较高的。

void build(node *fa,node *&cur,int l,int r){    if(l>r)return;    int mid=(l+r)>>1;    cur=newnode(sz[mid]);    cur->pre=fa;    build(cur,cur->ch[0],l,mid-1);    build(cur,cur->ch[1],mid+1,r);    update(cur);}

Splay的节点查找
首先按照二叉排序树的性质（左子树都比它小，右子树都比它大），然后将该节点伸展到根节点。。

//查找键值为X的节点的位置并将其旋转到根节点 node *bst_search(node *cur,int x){    if(!cur) return NULL;    if(cur->sh == x) return cur;    else if(x > cur->sh)        return bst_search(cur->ch[1],x);    else if(x < cur->sh)        return bst_search(cur->ch[0],x);}//bst_search 返回的是键值为x的元素的位置 node *search(node *cur,int x){    node *p=bst_search(cur,x);    //此时p即为元素x的位置    splay(p,cur->pre);    return p;}

找到处在中序遍历第k 个结点，并将其旋转到结点f 的下面：

void Select(int k, node *&f){    int tmp;    node *t;    for(t=root;;) { // 从根结点开始        Push_Down(t); // 由于要访问t 的子结点，将标记下传        tmp = t->ch[0]->size;//得到t 左子树的大小        if (k == tmp+1) break;//得出t 即为查找结点，退出循环        if (k <= tmp) // 第k 个结点在t 左边，向左走            t = t->ch[0];        else // 否则在右边，而且在右子树中，这个结点不再是第k 个            k -= tmp + 1, t = t->ch[1];    }    Push_Down(t);    splay(t,f); // 执行旋转}

Splay节点插入：
按照二叉排序树插入，然后将其旋转到根节点下
结构体里写上这个函数：

node *newnode(int x){    node *cur=new node;    cur->val = x;    cur->ch[0] = cur->ch[1] = cur->pre = NULL;}

然后是插入函数：

//插入值为x的一个新节点 void insert(node * cur,int x){    if(root==NULL){//cur不可改变，root要特判        root=newnode(x);        return ;    }    node *p;    while(cur!=NULL){        p=cur;        if(cur->val>x) cur = cur->ch[0];        else cur = cur->ch[1];    }    //在 while 过程当中 p始终保持是cur的父节点     cur=newnode(x);    if(cur->val < p->val) p->ch[0]=cur; //注意判读条件，不可用cur==p->ch[0]    else p->ch[1]=cur;    cur->pre = p;    splay(cur,NULL);}

Splay的合并：

将俩棵伸展树合并必须保证第二课伸展树的值都大于第一棵伸展树，只需要将第一棵伸展树的最大节点转到根的位置上，这时候该节点的有孩子为空（因为：该节点是最大的节点，如果他还有右孩子的话根据二叉排序树的定义他的右孩子比他大），直接将第二棵伸展树挂到第一棵伸展树的最大节点的右孩子上。。

node *merge(node *x,node *y){    if(!x) return y;    if(!y) return x;    while(x->ch[1]) x = x->ch[1];    splay(x,NULL);    x->ch[1] = y;    y->pre = x;    return x;}

Splay分离：
方法：查找给定值得节点并伸展到根，返回它的左右孩子

//Splay 分离void split(node *cur,int x,node *&x,node *&y){    node *t=search(cur,x);    x=cur->ch[0];x->pre=NULL;    y=cur->ch[1];y->pre=NULL;}

Splay节点删除：

//值为x的节点删除 node *del(node *cur,int x){    node *t=search(cur,x);    return merge(cur->ch[0],cur->ch[1]);}

上面的内容看看还行，代码就算了，代码是我粘的我们吕老师的，指针写的是又臭又长又丑，代码还的看我的。。