关于欧几里得定理和拓展欧几里得定理的理解 续

前言

在我大一刚开始ACM的时候，写过一篇关于欧几里得定理理解的博客，这几天因为再次用到欧几里得定理，所以又转回去看了看，感觉自己以前写的不是很清楚，所以决定再写一篇关于欧几里得定理以及拓展欧几里得定理的博客，并给出简单推导和证明。

正文

    在开始学习之前，我们介绍一下欧几里得定理的用途以及来源。

欧几里得定理，又名辗转相除法，最早是由欧几里得提出来的，号称是世界上最早的算法。主要用来求最大公约数。

再说欧几里得定理之前，我们先来证明一个简单的数学公式：gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

注：这里的gcd代表两数的最大公约数。该式的意思是a和b的最大公约数等于b和a,b的余数的最大公约数。

大家看到这里，会觉得莫名其妙，你说这个干啥，你说等于就等于吗？没事，我们来证明一下。

证明：

我们首先约定：m = gcd(a,b) , n = gcd(b, q) , a = b*p +q。（这里的gcd含义跟上面一样，q的含义跟后面式子同） 

1. =>m 是a,b的最大公约数，那么m整除a,b

    =>q = a - b*p

    =>m也可以整除q

    =>m就是b和q的公约数

    =>n是b,q的最大公约数

    =>n <= m

2. =>n 是q,b的最大公约数，那么n整除q,b

    =>a = b*p + q

    =>n也可以整除a

    =>n就是b和a的公约数

    =>m是b,a的最大公约数

    =>m <= n

综上所述，那么我们可以得出 n = m,及gcd(a, b) = gcd(b ,a%b)

根据上面证明得出的结论，我们可以知道既然gcd(a, b) = gcd(b,a%b),那么就可以有 

gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd(a%b, (b%(a%b))) = ... ... = gcd(c, 0) = c

所以这就是我们的辗转相除法，根据上面，我们可以使用递归实现该代码：

int gcd(a, b){if(b == 0)return a;return gcd(b, a%b);}

如果我们使用三元运算符，可以进一步变形

int gcd(a, b){return b == 0?a:gcd(b, a%b);}

有了上面欧几里得定理的知识，我们可以进一步来学习拓展欧几里得算法

在学习之前，我们先来看一道题：（大家最好先思考一下再继续向下看）

题目：现在给定直线方程 ax + by = 1,问你在x1 < x < x2, y1 < y < y2这个范围里面，直线上包含多少个整数点？

注：题目中的a,b,x1,x2,y1,y2作为输入数据给出，并且x,y的范围为10^9

解析：做这道题，我们应该知道一个知识，那就是对于ax + by = 1的不定解线性丢番图方程，有解的条件是gcd(a, b) = 1，反之无解。（裴蜀定理的推论，关于裴蜀定理，我写了一篇博客）

继续上面的话题，对于这样的不定解丢番图方程，如果存在解，我们可以根据拓展欧几里得定理求出一组普通解，然后再利用该定理推出其他解。

现在我们来介绍拓展欧几里得定理：

同样的，再介绍拓展欧几里得定理之前我们先给出一个公式，

那就是如果对于方程ax + by = gcd(a, b)如果有一组解(x1, y1)，那么其他解的形式为（x1 - kb', y1 + ka'）。

注意这里的b' = b/gcd(a, b)，a' = a/gcd(a, b)。k为任意整数。

我们现在就来推导一下为什么要这样说：

因为(x1, y1)是ax + by = gcd(a, b)的一组解，那么

a*x1 + b*y1 = gcd(a, b) 这是式子一

假设另一组解为(x2, y2)，那么同样满足 a*x2 + b*y2 = gcd(a, b),这是式子二

上面的两组式子，我们连理我可以得到ax1 + by1 = ax2 + by2

两边同时除以gcd(a, b),那么该式就变成了 a'x1 + b'y1 = a'x2 + b'y2

然后左右移项，式子就变成了a'(x1 - x2) = b'(y2 - y1)了。

那么因为由于a' 和 b'此时互素，我们就可以得到 x1 - x2 = kb'(k为任意常数)，同样y2 - y1 = ka'

到此证明结束

现在我们来推导另一个重要结论，那就是怎样来得到这开始的一组普通解。

首先对于式子ax + by = gcd(a, b)。

我们来证明：约定a > b

1. a*b = 0的时候，gcd(a, b) = a。此时显然解为 x = 1, y = 0。

2.当a*b != 0的时候

我们设a*x1 + b*y1 = gcd(a, b)。

b*x2 + (a%b)*y2 = gcd(b, a%b).

根据前面的朴素欧几里得定理我们可以知道，gcd(a, b) = gcd(b, a%b)，那么就有

a*x1 + b*y1 = b*x2 + (a%b)*y2，进一步变化

a*x1 + b*y1 = b*x2 + (a-(a/b)*b)*y2 = a*y2 + b*x2 - (a/b)*b*y2

根据恒等定理，我们可以知道x1 = y2, y1 = x2 - (a/b)*y2。

由此，我们便可以知道通过不断的递归，可以将程序一直递归到a*b = 0的时候，求出x=1, y=0，在通过回溯来求出普通解。故，我们可以得到程序：

int extgcd(int a,int b,int &x, int &y){int d = a;if(b != 0){d = extgcd(b, a%b, y, x);y -= (a/b)*x;}else{x = 1;y = 0;}return d;}

上面的函数返回的a,b 的最大公约数，利用引用求出的x，y的值

结论：根据上面的推导，我们可以得出拓展欧几里得定理：

假设对于不定解方程ax + by = c有一组解为(x1, y1)，那么其他解的形式为（x1-kb', y1+ka'）,其中b' = b/gcd(a,b),a' = a/gcd(a,b)。

当然，上面的方程有解的充分条件为c是gcd(a, b)的倍数。

求出开始的一组解过程为：

首先利用函数找出 ax + by = gcd(a, b)的解为（x0, y0），那么原方程ax + by = c的一组普通解

是(x0*c/gcd(a, b), y0*c/(gcd(a,b)) )。

大家学完这个，可以做一下poj 1061这道题。