最小二乘法

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

   对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

        （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

 　样本回归模型：

                                     其中e_i为样本（X_i, Y_i）的误差

   平方损失函数：

                      

   则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

                       

    根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

    解得：

                   

线性函数模型

一般性情况

最小二乘法解

考虑超定方程组（超定指未知数小于方程个数）：

其中m代表有m个等式，n代表有 n 个未知数

 

m>n ；将其进行向量化后为：           

                    

显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的

让该等式"尽量成立"，引入残差平方和函数S：

                                                                                                                                    

（在统计学中，残差平方和函数可以看成n倍的均方误差MSE）：

     

  这个方程称为正规方程组，吴恩达在他的公开课的正式第一节里面有详细的推导，其本质就是对损失函数求最优解。有了这个式子我们就可以得出：

                 

在通常情况下如果非奇异代表你提供的特征中有两个一模一样的，但是这通常不会成为一个问题，不用担心。（吴恩达原话）。

这样我们就可以通过代数形式直接得到最优解而不用通过梯度下降反复去迭代。