图 续2

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图的遍历

  

  

图的遍历分为：深度优先搜索和广度优先搜索

  

  

  

不同的方式在遍历时，遍历路径是不一样的

  

  

  

  

  

  

  

深度优先搜索

  

  

对如下图进行深度优先搜索：

  

  

  

需要先选定一个点，假设选定的点为A

  

  

先从 A 的一支开始搜索，搜索到B，接着：

  

从 B 搜索到 C，从 C 搜索到 E，从E 搜索到 F，直到

从 F 再搜索时已经形成了一个环为止

  

  

再从A 的另一支开始搜索，搜索到 D，接着：

  

从 D 搜索到 G，从 G 搜索到 H，直到从 H 再搜索时

已经形成了一个环为止

  

  

  

通过上面的搜索过程，不难发现，这与二叉树的前序遍历的

根 - 左 - 右 模式 非常相似

  

 

其实，对于图的深度优先搜索来说，就是前序遍历：

  

先搜索根，然后再搜索与根连接的每一个节点，而且需要深入

到这个节点的最终端

  

  

  

最后：

  

  

  

深度优先搜索的顺序：A B C E F D G H

  

其中：B 到 F 的边，和 D 到 H 的边，需要舍弃掉，

因为它们已经使得当前的这棵树形成了一个环

  

  

  

  

  

  

  

广度优先搜索

  

  

广度优先搜索其实比深度优先搜索更容易理解

  

  

对如下图进行广度优先搜索：

  

  

  

如果把这张图分成层，广度优先搜索其实就是一层一层的去搜索，

它的搜索顺序就是先搜索A，再搜索 B、D，然后搜索 C、F、G、

H，最后搜索 E

  

  

  

最后：

  

  

  

广度优先搜索的顺序：A B D C F G H E

  

其中：E 到 F 的边，和 G 到 H 的边，需要舍弃掉，

因为它们已经使得当前的这棵树形成了一个环

  

  

  

  

  

  

  

最小生成树

  

  

通过对深度优先搜索和广度优先搜索的了解，不难发现，

采用不同的搜索方式，形成的生成树是不一样的

  

  

但是这样的遍历，其实还是相对比较简单的，它并没有涉及

到权值的问题。在一张图中，顶点和顶点之间的边如果是有

权值的，它的问题将会更加复杂

 

 

这样，就涉及到最小生成树 的问题

  

 

  

看如下实例：

  

有这样六个城市，分别叫A、B、C、D、E、F，需要在六个城市

之间修路（可以看成是六个顶点）

  

  

  

其实每两个城市之间都可以修路，但是修路的成本可能不一样，中间也许隔着山

  

如：从 A 市修向 B 市，如果中间隔着山，成本就会很高，假设权值为 6

  

那就不如先从A 市修到 F 市，再从 F 市修到 B 市，这样，总权值才为 3

  

  

可见：如果有了权值之后，想把所有顶点全部连接起来，且使得最后连接

起来的结果最为经济，这样，就是一颗最小生成树

  

  

希望达到的结果是这样：

  

从A 开始：A 修到 F，F 修到 B，B 修到 C，F 修到 D，D 修到 E

  

  

不难发现，选择的全是值比较小的边，而加起来的总成本也最小

  

  

但是，有了左图，通过它去求一棵最小生成树，从而达到右图的

效果，却是需要一套算法的

  

  

  

这样的算法，共有两种：

  

  

  

一种叫做普里姆（Prim）算法，一种叫做克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

  

  

  

  

  

  

  

普里姆（Prim）算法

  

  

普里姆（Prim）算法的基本思想：

  

1）首先要有一个点集合，是指纳入到最小生成树中的点集合

  

2）其次要有一个边集合，是指纳入到最小生成树中的边集合

  

3）最后要有一个待选边集合，是指被选定点可以到达的所有边的集合

  

  

  

第一步：

  

  

  

假设从A 点开始，则 A 就是选定的第一个点，把 A 纳入到点集合中

  

从A 向外延伸出去一共有三条边，分别是 A-B、A-F、A-E，把这三

条边纳入到待选边集合中

  

从待选边集合中找出权值最小的边，即A-F，把 A-F 纳入到边集合中

  

这样，第一个点和第一条边就确定下来了

  

  

  

第二步：

  

  

  

边A-F 连接了下一个点 F，把 F 纳入到点集合中

  

把从A、F 向外延伸出的所有边都纳入到待选边集合中

  

待选边集合进一步扩充，变成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、

F-C、F-D

 

「注意：同一条边，不需要重复写，如：A-F 和 F-A」

  

其中A-F 已被选走，不能再被选

   

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即F-B，把 F-B 纳入到边集合中

  

  

  

第三步：

  

  

  

边F-B 连接了下一个点 B，把 B 纳入到点集合中

  

把从A、F、B 向外延伸出的所有边都纳入到待选边集合中

  

待选边集合进一步扩充，变成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、

F-C、F-D、B-C

  

其中A-F、F-B 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即B-C，把 B-C 纳入到边集合中

  

  

  

第四步：

  

  

  

边B-C 连接了下一个点 C，把 C 纳入到点集合中

  

把从A、F、B、C 向外延伸出的所有边都纳入到待选边集合中

  

待选边集合进一步扩充，变成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、

F-C、F-D、B-C、C-D

  

其中A-F、F-B、B-C 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即F-D，把 F-D 纳入到边集合中

  

  

  

第五步：

  

  

  

边F-D 连接了下一个点 D，把 D 纳入到点集合中

  

把从A、F、B、C、D 向外延伸出的所有边都纳入到待选边集合中

  

待选边集合进一步扩充，变成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、

F-C、F-D、B-C、C-D、D-E

  

其中A-F、F-B、B-C、F-D 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即D-E，把 D-E 纳入到边集合中

  

  

  

第六步：

  

边D-E 连接了下一个点 E，把 E 纳入到点集合中

  

此时，点集合中有A、F、B、C、D、E，即 全部六个点都被连接

了起来，形成了一棵最小生成树

  

  

  

  

  

  

  

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

  

  

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的基本思想：

  

1）首先要有一个待选边集合，是指一张图中所涉及的所有边的集合

  

1）其次要有一个已选边集合，是指纳入到最小生成树中的边集合

  

2）最后要有一个已涉及点集合，是指纳入到最小生成树中的点集合

  

  

  

第一步：

  

  

  

首先把这张图中所涉及的所有边都纳入到待选边集合中

  

从待选边集合中找出权值最小的边，即A-F，把 A-F 纳入到已选边集合中

  

选定边的同时，也选定了点，把 A、F 纳入到第一个已涉及点集合中

  

  

  

第二步：

  

  

  

待选边集合中 A-F 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即F-B，把 F-B 纳入到已选边集合中

  

选定边的同时，也选定了点，把B 纳入到第一个已涉及点集合中

  

  

其实D-E 的权值也为 2，F-B 和 D-E 二者任选其一即可，这里先选 F-B，

F-B 选出来之后、纳入到已选边集合之前，要判断一下：

  

当前的 F-B 有没有与以前的 A-F 形成闭环，如果形成了闭环，就需要将

这条边抛弃掉

  

显然，这里没有形成闭环，于是 F-B 这条边就被纳入到已选边集合中

  

  

即每次从待选边集合中选边时，都要做如下操作：

  

1）当最小权值的边有多条时，任选其一

  

2）如果当前选定的边与已选边集合中的边形成了闭环，

就将这条边抛弃掉，重新选择

  

  

  

第三步：

  

  

  

待选边集合中 A-F、F-B 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即D-E，把 D-E 纳入到已选边集合中

  

注意：默认在D-E 纳入到已选边集合之前，就已经判断没有形成闭环

  

选定边的同时，也选定了点，把 D、E 纳入到第二个已涉及点集合中

  

因为通过已选定边集合无法让A、F、B 和 D、E 相连，所以要纳入到

两个不同的已涉及点集合中

  

  

  

第四步：

  

  

  

  

待选边集合中 A-F、F-B、D-E 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即B-C，把 B-C 纳入到已选边集合中

  

注意：默认在B-C 纳入到已选边集合之前，就已经判断没有形成闭环

  

选定边的同时，也选定了点，把C 纳入到第一个已涉及点集合中

  

因为通过已选定边集合无法让A、F、B、C 和 D、E 相连，所以要纳入到

两个不同的已涉及点集合中

  

  

  

第五步：

  

  

  

待选边集合中 A-F、F-B、D-E、B-C 已被选走，不能再被选

  

从剩下待选边集合中找出权值最小的边，即F-D，把 F-D 纳入到已选边集合中

  

注意：默认在F-D 纳入到已选边集合之前，就已经判断没有形成闭环

  

已选定边集合中的F-D 使得两个不同的已涉及点集合中的 F 和 D 关联了起来，

即两个不同的已涉及点集合有了联系，融合成为一个已涉及点集合

  

此时，已涉及点集合中有A、F、B、D、E、C，即 全部六个点都被连接

了起来，形成了一棵最小生成树

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

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