Machine Learning第八讲[非监督学习] --（三）主成分分析(PCA)

内容来自Andrew老师课程Machine Learning的第八章内容的Principal Component Analysis(PCA)部分。

一、Principal Component Analysis Problem Formulation（主成分分析构思）

首先来看一下PCA的基本原理：

PCA会选择投影误差最小的一条线，由图中可以看出，当这条线是我们所求时，投影误差比较小，而投影误差比较大时，一定是这条线偏离最优直线。

PCA的方向：

从图上的分析，我们可能很疑惑PCA和线性回归十如此地相似，那么两者是一回事吗？下面的图可以很好地给出解释：

总结：线性回归和PCA的最优模型都是最小化某个值，只是线性回归最小化预测值和真实值之间的误差，而PCA最小化投影误差。

二、Principal Component Analysis Algorithm（主成分分析算法）

主成分分析的具体流程为：

训练集：

1、数据预处理：计算均值，用替换，即（可能是最大值与最小值的差值，也可能是方差、标准差之类的）

2、将数据从n维降到k维（k≤n）

（1）计算协方差：，其中是n*1矩阵（注意，不是求和而是协方差的符号）

（2）计算的特征向量：[ U, S, V ] = svd( Sigma ) = eig( Sigma)，在做奇异值分解的时候，svd( )和eig( )的结果相同，但是svd( )相对稳定一些，能够得到U是n*n的矩阵，

注意：svd产生的U是由特征向量组成的，按照特征值大小排列的，即大的特征值对应的特征向量在前面，小的特征值对应的特征向量在后面。又特征值越大，说明此特征越重要，因此在下一步中可以取前K列特征（使得k固定的情况下，丢失最少的特征）。

（3）取U的前k列，记作，则

其算法流程如下：

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