L0/L1/L2/Lp/L∞范数的联系与区别

向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度，或者向量到零点的距离，或者相应的两个点之间的距离。

向量的范数定义：向量的范数是一个函数||x||,满足非负性||x|| >= 0，齐次性||cx|| = |c| ||x|| ，三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

常用的向量的范数：

L0范数：||x||0为x向量各个非零元素的个数。
||x|| 0 =#(i) with x i ≠0 。
也就是如果我们使用L0范数，即希望w的大部分元素都是0. （w是稀疏的）所以可以用于ML中做稀疏编码，特征选择。通过最小化L0范数，来寻找最少最优的稀疏特征项。但不幸的是，L0范数的最优化问题是一个NP hard问题，而且理论上有证明，L1范数是L0范数的最优凸近似，因此通常使用L1范数来代替。

L1范数: ||x||1 为x向量各个元素绝对值之和。
||x|| 1 =∑ |x i |
L1范数的解通常是稀疏性的，倾向于选择数目较少的一些非常大的值或者数目较多的insignificant的小值。

L2范数: ||x||2为x向量各个元素平方和的1/2次方，L2范数又称Euclidean范数（欧氏距离）或者Frobenius范数
L2范数越小，可以使得w的每个元素都很小，接近于0，但与L1范数不同的是他不会让它等于0而是接近于0.
由于L1范数并没有平滑的函数表示，起初L1最优化问题解决起来非常困难，但随着计算机技术的到来，利用很多凸优化算法使得L1最优化成为可能。

Lp范数: ||x||为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方
L∞范数: ||x||为x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值