快速幂详解——2017中国大学生程序设计竞赛

Easy Summation

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Problem Description

You are encountered with a traditional problem concerning the sums of powers.
Given two integers n and k. Let f(i)=ik, please evaluate the sum f(1)+f(2)+...+f(n). The problem is simple as it looks, apart from the value of n in this question is quite large.
Can you figure the answer out? Since the answer may be too large, please output the answer modulo109+7.

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤20), denoting the number of test cases.
Each of the following T lines contains two integers n(1≤n≤10000) and k(0≤k≤5).

Output

For each test case, print a single line containing an integer modulo109+7.

Sample Input

32 54 24 1

Sample Output

333010

Source

2017中国大学生程序设计竞赛 - 女生专场

 

思路：

刚刚看到这道题觉得就是用大数相加的方法，先分别求出f(1)...f(n),在把这些数加起来。最后调试完成后发现超时，后来在网上看到别人40行代码，才知道了快速幂，确实快很多，安利一下这种解法。

 

先上代码

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cstdlib>using namespace std;long long pow2(long long a,int b)//快速幂 位运算版{    long long r=1,base=a;    while(b)    {    if(b&1) r=(r*base)%1000000007;    base=(base*base)%1000000007;    b>>=1;    }    return r;}int main(){    int  m;    cin>>m;    while(m--)    {        int n,k;        cin>>n>>k;      long long sum=0;      for(int i=1;i<=n;i++)      {          sum+=pow2(i,k);          sum=sum%1000000007;//1000000007      }        cout<<sum<<endl;    }    return 0;}

快速幂的思想：

　　首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

　　11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) 

，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。

 

 

 

　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >>  

 

 

 

　　&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。

 

 

 

　　>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。

 

 

 

　　

 1 int poww(int a,int b){ 2     int ans=1,base=a; 3     while(b!=0){ 4         if(b&1!=0) 5         　　ans*=base; 6         base*=base; 7         b>>=1; 8　　 } 9     return ans;10 }

　　代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上  面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。