动态规划之背包问题 python实现

动态规划之01背包问题

题目描述：有编号分别为1,2,3,4,5的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
动态规划的核心过程有两部分，一个是找出问题的”子状态”，再一个就是建立“状态转移方程”（所谓的递推公式）。将上面的问题解决，动态规划就解了一般，剩下的为代码将数学的公式的进行实现。
- 动态规划的思路。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。
- w[i]：第i个物体的重量
- p[i]：第i个物体的价值
- c[i][j]：前i个物体放入容量为j 包的最大价值
- c[i-1][j]：前i个物体放入容量为j 包的最大价值
- c[i-1][j-w[i]]：前i-1个物体放入容量为j-w[i] 包的最大价值

以下通过表格来说状态转移方程
c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+p[i]（m>w[i]） , c[i-1][m]}

首先明确该表是至底向上，从左到生成的。且上边abcde带代表编号5,4,3,2,1

• c[3][2]代表 编号1,2,3三件物品放入容量为2的包中的最大价值。因为编号1,2,3的任一件物品的重量都要大于2，装入容量为2的包。即w[i]>2(i=1,2,3) 故c[3][2]=0
• 现在通过思考c[5][8]=15的由来理解上式的状态转移方程
  
  • 根据c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi（m>w[i]） , c[i-1][m]}公式，需要考虑c[4][8-w[5]]+p[5]=9+6=15, c[4][8]=9, c[5][8]=15
    
    当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

以下开始用python编程

#n：物品件数；c:最大承重为c的背包；w:各个物品的重量；v:各个物品的价值#第一步建立最大价值矩阵(横坐标表示[0,c]整数背包承重):(n+1)*(c+1)#技巧:python 生成二维数组(数组)通常先生成列再生成行def bag(n,c,w,p)：    res=[[-1 for j in range(c+1)]for i in range(n+1)]    for j in range(c+1):        #第0行全部赋值为0，物品编号从1开始.为了下面赋值方便        res[0][j]=0    for i in range(1:n+1):        for j in range(1:c+1):            res[i][j]=res[i-1][j]            #生成了n*c有效矩阵，以下公式w[i-1],p[i-1]代表从第一个元素w[0],p[0]开始取。            if(j>=w[i-1]) and res[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]>res[i][j]：                res[i][j]=res[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]    return res#以下代码功能：标记出有放入背包的物品#反过来标记，在相同价值情况下，后一件物品比前一件物品的最大价值大，则表示物品i#有被加入到背包，x数组设置为True。设初始为j=c。def show(n,c,w,res):      print('最大价值为:',res[n][c])      x=[False for i in range(n)]      j=c      for i in range(1,n+1):          if res[i][j]>res[i-1][j]:              x[i-1]=True              j-=w[i-1]      print '选择的物品为:'      for i in range(n):          if x[i]:              print '第',i,'个,'     print'' if __name__=='__main__':      n=5      c=10      w=[2,2,6,5,4]      p=[6,3,5,4,6]      res=bag(n,c,w,p)      show(n,c,w,res) 

爱奇艺算法题

该题与背包问题有以下等价

• 节目数等价于物品数n
• 采购预算金额B等价于背包承受总重c
• 每个节目的价格P[i]等价于每个物品的重量w[i]
• 每个节目的播放量V[i]等价于每个物品的价值p[i]
  现在解决的问题为总金额不超过B的前提下获得最高的预期值播放量？
  等价于不超过背包称重量c的前提下获得最高的物品价值？
  先输入流数据进行处理：

#转化为列表之后不能直接int(List)n=int(sys.stdin.readline().strip())#正确解法：需要对列表内每个数int();使用raw_input()不会读取回车，sys.stdin()会读取回车键dat=[int(x) for x in raw_input().strip().split()]c=dat[0];p=[];v=[]m=len(dat)for i in range(1,m,2):    p.append(dat[i])for j in range(2,m,2):    v.append(dat[j])

数据处理完后将对应的带入背包问题的bag函数中即可得到结果。