C++抽象编程——算法分析（8）——插入排序算法与分析

本来算法分析系列算是写完了（其中我忽略了数学归纳法那一部分内容，因为我觉得我们高中学过就没必要再提一次）。但是教材强调我们要重点看看练习题的第二题。我也看了一下，确实很不错。这道题讨论的是插入排序（insertion sort）算法。题目如下：

练习2——插入排序（insertion sort）

还有其他几种排序算法表现出选择排序的O（N^2）行为。 其中最重要的是插入排序，其操作如下。你可以依次选择vector0中的每个元素，与选择排序算法一样。但是，在该过程的每个步骤中，目标不是找到最小的剩余值并将其切换到正确的位置，而是确保到目前为止所考虑的值是相对于彼此正确排序的。虽然这些值可能会随着更多元素的处理而改变，但它们在自身中形成有序的序列。
例如，如果你再次考虑我们之前排序示例中使用的数据，则插入排序算法的第一个循环不需要工作，因为一个元素的向量总是被排序：

在下一个循环中，你需要将25放在正确的位置，这意味着您需要交换56和25以达到以下配置：

在第三个循环，你需要找到值37应该去哪里。为了做到这一点，你需要向前遍历早期的元素，你知道这些元素是已经排好序的。当你走的时候，你需要把每一个较大的元素一个位置向右移动，这最终为你要插入的价值腾出空间。 在这种情况下，56被向后移动了一个位置，37个在第1位上升。因此，第三个循环后的配置如下所示：

在每个循环之后，vector的初始部分总是被排序，这意味着以这种方式循环遍历所有位置将对整个vector进行排序。
插入排序算法在实践中很重要，因为如果向量已经以正确的顺序或者已经或多或少地排好序，则它在线性时间运行（因为此时只是相当于遍历）。因此，我们通常使用插入排序将只有少数元素并未被排序的的大型vector中。这样耗时是最少的。

目的：编写一个程序实现插入排序算法（用sort作为函数原型）。 构造一个非正式的参数来表明插入排序的最坏情况是O（N^2）

代码的实现

我刚刚花了20分钟写出了这个简短的代码，实话，惭愧写了那么久。但是我确实学到了新的技巧，现在来分享：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;/*函数原型*/ void sort(vector<int> & vec);/*主函数*/ int main(){    vector<int> vec;    for(int i = 0; i < 8; i++){        int n;         cin >> n;        vec.push_back(n);     }    sort(vec);    for(int k = 0; k < vec.size(); k++){        cout << vec[k] << " ";    }    return 0;}void sort(vector<int> &vec){    for(int i = 1; i < vec.size(); i++){        int key = vec[i];//记录该位置的值，这个位置之前的数字都已经被排序好        //满足条件之后，往后挪动为插入腾出空间         while(key < vec[i - 1] && i > 0){            vec[i] = vec[i- 1];            i--;            vec[i] = key;        }     }} 

运行结果如图：

代码分析与反思

其实写这段代码的时候头脑还是挺清晰的。在vec[i]前面的数一定是排序好的，只要vec[i]前面的数比它小，那么就插入到这个数的前面，然后继续比较前者是不是还比它小。我们重点解析一下这段代码：

while(key < vec[i - 1] && i > 0){            vec[i] = vec[i- 1];            i--;            vec[i] = key;        } 

我们假设这个时候i = 2;那么数据中的37前面的25和56是已经排序好的。我们先将vec[i - 1]的值先赋值给vec[i].这个时候
数据就是：

25 56 56 ….. 0 1 2 ………

这就相当于我们完成了后移，为插入腾出空间。此时 i 减去1，再用记录了37的key赋值给vec[i] (此时就是vec[1]),完成插入）。那我们能不能把

vec[i] = key;

放在while循环的后面呢？当然是可以的，前者是边后移边插入，后者是先全部后移，然后插入。
现在我们可以来回答提出的两个问题了，最好的情况是什么呢？当然是已经排好序的时候啦。因为我们的操作是遍历，然后比较大小再进行插入操作的。如果所有的数据都是后一位大于前一位，那么说明的就是while循环根本都不用执行，因此我们所做的也就仅仅是遍历的过程，也就是线性的复杂度O（N），好了 现在我们再讨论一下最坏的情况，是排序一组毫无规则的vector吗？很明显不是的，因为再没有规则它前面都可以有比它小或者大的数，意味着它不用进行所有的插入操作了。最坏的情况我想应该就是让你去用插入排序去将一组降序排列的vector变为升序排序的vector了吧，就像 ：
8 7 6 5 4 3 2 1
用插入排序排成：
1 2 3 4 5 6 7 8
每个操作都要移动N-1次。那么我们进行了N次，所以显然跟选择排序的s算法复杂度一样为O（N^2）
C++抽象编程——算法分析（1）——选择排序