离散正(余)弦信号的时域与FFT变换后所得频域之间的关系（幅值和相角）

   正弦信号在信号处理中是很常见的，比如通信领域的载波。由于正弦与余弦只是相差π/2的初相，因此这里统称正弦信号。给出连续正弦信号的表达式：

式中，A为振幅，Ω为模拟角频率(rad/s)，φ为初相，f为模拟频率(Hz)，Ω=2πf 。

        在满足奈奎斯特采样定理条件下对信号x(t)进行采样得到离散正弦信号x(n)

式中，f_s为采样频率，T_s为采样间隔，T_s=1/f_s，ω为数字角频率(rad)，ω=2πf/f_s。

        根据ω可以判断x(n)的周期性，若2π/ω为有理数则x(n)为周期信号，周期为有理数的分母，详情可参考数字信号处理类教科书。

        对N点长的x(n)进行FFT可得其N点长的离散傅里叶变换(DFT)，记为X(k)。注意，FFT只是DFT的快速算法的总称。由于x(n)是实信号，所以X(k)为对称的，只须关注其前N/2点即可。

        今天要讨论的问题来自一篇文档《为什么要进行傅里叶变换》，这是一篇网上很热门文章，原文出处不详，给出参考链接：网易博客，百度文库，豆瓣。

        在原文第七部分“七、用Matlab实现快速傅立叶变换”中有一段话是这样子写的：

        假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

        这里用本文的符号翻译一下：对于x(n)的离散傅里叶变换X(k)来说，X(k)一般为复数，可设为X(k)=a(k)+ jb(k)，其模值|X(k)|和相角arg[X(k)]分别为

对于任意一项X(k)(0<k<N/2)，它所对应的时域信号表达式为

其中。若k=0，即直流分量，其幅度为|X(k)|/N。

        有关模拟频率f与离散频率k的关系可参见数字信号处理类教科书，下面对时域信号幅度相角与离散频域的幅值相角的关系结论进证明。

        为了避免频谱泄漏，取f、f_s和N均为正整数，且N=mf_s，m为正整数。

        对离散正弦信号x(n)进行DFT变换：

上面推导过程中使用了欧拉公式和三角函数积化和差公式。令

则  。

        当mf+k≠0时，根据离散正弦信号的周期性判断方法，我们知道X_Re1(k)和X_Im1(k)求和式中的正弦信号一定是以N为周期的，所以从0到N－1求和必为零；同理，当mf－k≠0时，X_Re2(k)和X_Im2(k)求和式中的正弦信号一定是以N为周期的，所以从0到N－1求和也必为零。若要使mf+k项为零，则必有f=k=0，若要使mf－k项为零，则要满足mf=k。

        下面以文档《为什么要进行傅里叶变换》中的例子为例来说明：

        S=2+3*cos(2*pi*50*t－pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度，所以－30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。

        我们取信号S的50Hz成份。这里f_s=256Hz，N=256，f=50Hz，m=1，代入得

可以通过周期性讨论得知，若k≠50，则必有X(k)=0（当然k=256－50时与k=50对称，前面我们说了只讨论前N/2=128个点）。当k=50时

因此可得时域幅值相角与频域模拟相角的关系

这里模拟频率f与离散频率k的关系为

同理可以讨论f=75Hz成份。对于直流成份，可以认为是如下正弦信号

即f=0Hz，φ=0，代入得

可以通过周期性讨论得知，若k≠0，则必有X(k)=0；当k=0时

其实对于直流成分没有必要这么复杂，直流成分就是一个常数，对常数序列A做DFT

若k≠0，求和项复正弦序列以N为周期，求和后必为零；若k=0，求和通项等于1，则

        推导了半天，可能有些糊涂，最后再把结论清晰的给出来，以便查阅：

       【结论1】若有离散正弦信号

对x(n)做N点FFT得X(k)，则在0<k<N/2范围内仅在k=f/(f_s/N)处有值，若设此值为X=a+jb，则此值与离散正弦信号有如下关系

其中

结论中，为保证k=f/(f_s/N)为整数（即不发生频谱泄漏，要求f，f_s，N均为正整数，且N=mf_s，m为正整数，即N为整数倍的f_s）

        【结论2】若有直流信号x(n)=A，对x(n)做N点FFT得X(k)，则仅在k=0处有值，且此值X=AN，也可以写为A=X/N。

 

附：三角函数积化和差公式