2014年第五届蓝桥杯C/C++程序设计本科B组决赛 出栈次序(结果填空)

出栈次序

X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。
路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图【p1.png】所示。
X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。
如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？
为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。
显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。
现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。

题意：求n个元素的出栈情况有多少种。

思路：

方法一：

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

                                f(1)= 1     //即 1                                f(2)= 2     //即 12、21                                f(3)= 5     //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1)* f(2)；

3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) +f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)f(3) + f(1)*f(2) + f(2) f(1)+ f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … +f(n-1)*f(0)

即

#include"stdio.h"#include"iostream"#include"string.h"using namespace std;int main(){    int f[20];    memset(f,0,sizeof(f));     f[0]=1;    f[1]=1;    f[2]=2;    f[3]=5;    for(int i=4;i<=16;i++)     for(int j=0;j<=i-1;j++)    {        f[i]+=f[j]*f[i-j-1];    }cout<<f[16]<<endl;return 0;}

这是正确代码我在这里出现了两次错误
第一次在i的初值上赋值为1，但是得为4
第二次是f[0]的值给成了0