数据结构——霍夫曼树

1、相关定义

• 路径：在树中，从一个结点到达另一个结点的路程
• 路径长度：一个结点到另一个结点所经过的分支数目
• 带权路径长度：某个结点的路径长度与改结点的权的乘机
• 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和n为叶子结点个数，wi为叶子i的权重，li为叶子结点的路径长度

2、霍夫曼树

         带权路径长度最小的树，常用于数据通信中。

         构造霍夫曼树算法：

1. 设给定的一组权值为{W1，W2，W3，……Wn}，据此生成森林F={T1，T2，T3，……Tn},F 中的没棵二叉树只有一个带权为W1的根节点（i=1，2，……n）。
2. 在F中选取两棵根节点的权值最小和次小的二叉树作为左右构造一棵新的二叉树，新二叉树根节点的权值为其左、右子树根节点的权值之和。
3. 在F中删除这两棵最小和次小的二叉树，同时将新生成的二叉树并入森林中。
4. 重复（2）（3）过程直到F中只有一棵二叉树为止。

3、霍夫曼编码算法的实现

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <malloc.h>#include <string.h>#include <iostream>using namespace std;/***Huffman类 */ class HuffmanTreeNode{public:int weight;//权重int parent,lchild,rchild; };       typedef HuffmanTreeNode *   HuffmanTree;//声明一个HuffmanTreeNode类型的HuffmanTree HuffmanTree HuffmanCoding(char** &HC,int w[],char a[],int n);//Huffman编码void Select(HuffmanTree HT,int n,int&s1,int&s2); void PrintHffmanCode(char** &HC,int w[],char code[],int codeLen,int a[],int aLen );//选出两个权值最小的节点 void Select(HuffmanTree HT,int n,int&s1,int&s2){int i=1,j;while(HT[i].parent!=0)   i++;   j=i+1;while(HT[j].parent!=0)   j++;if(HT[i].weight>HT[j].weight){   s1=j;//s1为权重小的   s2=i;}else{   s1=i;   s2=j;}i=j+1;while(i<=n){   if(HT[i].parent!=0)    i++;   else if(HT[i].weight<HT[s1].weight){    s2=s1;    s1=i;   }else if(HT[i].weight<HT[s2].weight)    s2=i;    i++;}}//Huffman编码 HuffmanTree HuffmanCoding(char **& HC,int w[],char a[],int n){int i,start,c,f;HuffmanTreeNode *p;char *cd;if(n<1)return NULL;int m=2*n-1;//定义一个有m+1个节点的霍夫曼树HuffmanTree HT=new HuffmanTreeNode[m+1]; //初始化for(p=HT+1,i=1;i<=n;i++,p++){   p->weight=w[i-1];   p->lchild=0;  p->rchild=0;   p->parent=0;} int s1,s2;for(;i<=m;++i){   Select(HT,i-1,s1,s2);   HT[s1].parent=i;   HT[s2].parent=i;   HT[i].parent=0;   HT[i].lchild=s1;   HT[i].rchild=s2;   HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;//父节点weight值为左右孩子的权值之和 }HC=new char* [n];cd=new char[n];            cd[n-1]='\0';                                for(i=1;i<=n;++i){   start=n-1;                                  for(c=i,f=HT[i].parent;f!=0;c=f,f=HT[f].parent){    if(HT[f].lchild==c)     cd[--start]='0';    else     cd[--start]='1';   }   HC[i-1]=new char[n-start];   strcpy(HC[i-1],&cd[start]);                   }return HT;} void PrintHffmanCode(char** &HC,int w[],char code[],int codeLen,int aLen ) { HuffmanTree HT=HuffmanCoding(HC,w,code,codeLen);    for(int r=0;r<codeLen;r++){       cout<<code[r]<<"的字符的赫夫曼编码为:"<<HC[r]<<endl;}}void main(){int len;char *A;int *w;char **codeA;int n;cout<<"输入元素个数：";cin>>len;A=new char[len];w=new int[len];for(n=0;n<len;n++){       cout<<"输入第"<<n+1<<"个元素：";   cin>>A[n];       cout<<"输入对应权值：";   cin>>w[n];}HuffmanCoding(codeA,w,A,len);PrintHffmanCode(codeA,w,A,len,len);system("pause");}