数位DP小结

数位DP小结

概述

一般是求小于等于数字N的某些特征数字个数，或者是区间[L,R]的之间的某些特征数字个数，后者一般可以转换成求差的方式来做。

模板

数字处理函数：

int f(int num){    int ans;    int pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num=num/10;    }    return dfs( pos, s , true );}

其中：

digit为处理串的每个数位的数值。
s为初始的状态。
如果有其他限定条件，dfs中可以增加参数。

DFS函数：

int dfs(int l, int s, bool jud) {    if ( l==-1 ) return s == target_s;    if ( !e && ~f[l][s] ) return f[l][s];    int ans = 0;    int nex = e ? digit[i] : 9;    for (int d = 0; d <=  nex; ++d)        ans += dfs( l-1 , new_s( s,d ) , e && d==nex );    return jud ? ans : f[l][s] = ans;}

其中：

f为记忆化数组；
l为当前处理串的第l位（权重表示法，也即后面剩下l+1位待填数）；
s为之前数字的状态（如果要求后面的数满足什么状态，也可以再记一个目标状态t之类，for的时候枚举下t）；
jud表示之前的数是否是上界的前缀（即后面的数能否任意填）。
for循环枚举数字时，要注意是否能枚举0，以及0对于状态的影响，有的题目前导0和中间的0是等价的，但有的不是，对于后者可以在dfs时再加一个状态变量z，表示前面是否全部是前导0，也可以看是否是首位，然后外面统计时候枚举一下位数。It depends.
于是关键就在怎么设计状态。当然做多了之后状态一眼就可以瞄出来。

前导零的判断：

int dfs(bool zero)......ans+=dfs(zero&&i==0)//不区分前导零与零ans+=dfs(zero&&i==0&&l>1)//区分前导零与零

题目：

A. 【CF55D】

题意：

给定区间[L,R]，求区间完美数字的个数。（一个数字是完美数字当且仅当该数字可整除其所有数位上的非零数）

思路：

位数上的数字只需要考虑2~9，因此用一个数字1<<8来表示有哪些数字出现过。
如果一个数是所有位数的倍数，那么一定是其最小公倍数的倍数，其所有的最小公倍数是2520，所以求和的时候直接对2520取余。
dp[l][cnt][sum]，l为数字长度，cnt为位数上有哪些数，sum为数字和。
dfs(int l,int cnt,int sum,bool jud)，jud为是否为边界。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;int digit[20];LL dp[20][(1<<8)][2520];LL dfs(int l,int cnt,int sum,bool jud){    if(l==0){        for(int i=2;i<=9;i++)            if( (cnt&(1<<(i-2))) && (sum%i) ){                return 0;            }        return 1;    }    if(!jud && dp[l][cnt][sum] != -1) return dp[l][cnt][sum];    int nes = jud ? digit[l] : 9;    LL pos = 0 ;    for(int i=0;i<=nes;i++){        pos += dfs(l-1 , i<2 ? cnt : (cnt|(1<<(i-2))) , ((sum*10)+i)%2520 , jud&&(i==digit[l]));    }    if(!jud)        dp[l][cnt][sum]=pos;    return pos;}LL f(LL k){    LL ans;    int pos = 0;    while(k){        digit[++pos]=k%10;        k=k/10;    }    ans = dfs(pos,0,0,true);    return ans;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    memset(dp,-1,sizeof(dp));    int t;    LL m,n;    cin>>t;    while(t--){        cin>>m>>n;        cout<<f(n)-f(m-1)<<endl;    }return 0;}

B. 【HDU4352】

题意：

寻找[L,R]中间所有数字串中LIS（最长上升子序列）为K的数字和。

思路：

LIS运用动态规划可以在O(nlogn)的时间复杂度解决，此略。
因为最多只有0～9十个数字，因此可以预处理。
sta为LIS的状态，siz[sta]中保存LIS的长度（即二进制中1的个数），nex[sta][l]为在sta中插入数字l之后的LIS状态。
dp[l][sta][k]：l为数字长度，sta为当前LIS的状态，k为所要求的LIS长度。
dfs(int l,int sta,bool zero,bool jud)：zero判断是否为前导零，jud为是否为边界。
注意：dp[l][sta][k]中，k并不是必须的，然而因为本题样例组数过多且k很小，所以选择增加一维表状态而不是每次都初始化以节约时间。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;int digit[20],siz[1<<10],nex[1<<10][10];LL dp[66][(1<<10)][11];int Cas,k;LL dfs(int l,int sta,bool zero,bool jud){    if(l==0) return siz[sta]==k;    if(!jud&&dp[l][sta][k]!=-1)return dp[l][sta][k];    int nes = jud ? digit[l] : 9;    LL ans = 0;    for(int i=0;i<=nes;i++)        ans+= dfs(l-1, (zero&&i==0) ? 0 : nex[sta][i] , zero&&i==0 , jud&&i==nes);    if(!jud)dp[l][sta][k]=ans;    return ans;}LL f(LL num){    int pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num/=10;    }    return dfs(pos,0,true,true);}int find_nex(int status,int num){    for(int i=num;i<10;i++)        if (status&(1<<i)) return (status^(1<<i)|(1<<num));    return status|(1<<num);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    memset(dp,-1,sizeof(dp));    for(int i=0;i<(1<<10);i++){        siz[i]=0;        for(int j=0;j<10;j++){            if(i&(1<<j))siz[i]++;            nex[i][j]=find_nex(i,j);        }    }    int t;    LL m,n;    cin>>t;    while(t--){        cin>>m>>n>>k;        cout<<"Case #"<<++Cas<<": ";        cout<<f(n)-f(m-1)<<endl;    }return 0;}

C. 【HDU2089】

题意：

[L,R]中，不含4或62的数字个数。

思路：

dp[l][six]：l为数字长度，six为最后一位数字是否为6。
dfs(int l,bool six,bool jud)，jud判断是否为边界。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;int digit[10],dp[10][2],vis[10][2];int dfs(int l,bool six,bool jud){    if(l==0) return 1;    if(!jud&&vis[l][six])return dp[l][six];    int len = jud ? digit[l] : 9;    int nes = 0;    for(int i=0;i<=len;i++){        if((i==4)||(six&&i==2)) continue;    nes += dfs(l-1 , i==6 , jud&&(i==len));    }    if(!jud){        vis[l][six]=true;        dp[l][six]=nes;    }    return nes;}int f(int k){    memset(dp,0,sizeof(dp));    memset(vis,0,sizeof(vis));    int pos = 0;    while(k){        digit[++pos]=k%10;        k=k/10;    }    int ans = dfs(pos,false,true);    return ans;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endifint m,n;    while(scanf("%d%d",&m,&n)&&(m+n)){        cout<<f(n)-f(m-1)<<endl;    }return 0;}

D. 【HDU3555】

题意：

数字中含有49的数字个数。

思路：

偷了下懒，用C题的代码求不含49的个数，然后做差，居然过了= =b。其实这道题打表都行= =b。

代码：

#include <cstring>#include <cstdio>#include <iostream>#define LL long longusing namespace std;int digit[25];LL dp[25][2];LL dfs(int l,bool num,bool jud){    if(l==0) return 1;    if(!jud && dp[l][num]!=-1) return dp[l][num];    LL ans=0;    int nex = jud ? digit[l] : 9;    for(int i=0;i<=nex;i++){        if(num&&i==9)continue;        ans += dfs(l-1,i==4,jud&&i==nex);    }    if(!jud) dp[l][num]=ans;    return ans;}LL f(LL num){    int pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num/=10;    }    return dfs(pos,false,true);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    int T;    LL n;    memset(dp,-1,sizeof(dp));    scanf("%d",&T);    while(T--){        cin>>n;        cout<<n-f(n)+1<<endl;    }    return 0;}

E. 【HDU3252】

题意：

数字[L,R]中，round number数字的个数。round number即数字转换成二进制后0的个数大于等于1的个数。

思路：

digit数组中直接保存该数字的二进制形式。
dp[l][cnt1][cnt2][zero]：l为数字长度，cnt1为数字0的数字个数，cnt2为数字1的数字个数，zero判断是否为前导零。
dfs(int l,int cnt1,int cnt2,bool zero,bool jud)：jud判断是否为边界。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;int digit[35],dp[35][35][35][2],pos;int dfs(int l,int cnt1,int cnt2,bool zero,bool jud){    if(l==0) return cnt1>=cnt2;    if(!jud&&dp[l][cnt1][cnt2][zero]!=-1) return dp[l][cnt1][cnt2][zero];    int nex = jud ? digit[l] : 1;    int ans = 0;    for(int i=0;i <= nex;i++){        ans += dfs( l-1 , zero ? 0 : cnt1+(i==0) ,cnt2+(i==1) , zero&&(i==0) , jud&&i==nex );    }    if(!jud)dp[l][cnt1][cnt2][zero]=ans;    return ans;}int f(int num){    pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%2;        num>>=1;    }    return dfs(pos,0,0,true,true);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    memset(dp,-1,sizeof(dp));    int m,n;    cin>>m>>n;    cout<<f(n)-f(m-1)<<endl;    return 0;}

F. 【HDU3709】

题意：

统计区间[L,R]中，balanced number的数字个数。balanced number即对于任意一个数字串，假设其有一个数字位，它左边的数字乘距离的和等于它右边的数字乘距离的和，则其为balanced number。

思路：

枚举作为平衡点的数字位数，最后要减掉（pos-1）因为对于0,计算了0,00,000...重复计算了pos次，只需要保留一次。
dp[l][o][pos]：长度为l，平衡点位置为o时的当前状态（pos为0时表示平衡，pos>0则为左边的沉，pos<0则为右边的沉）
dfs(int l,int o,int pos,bool jud)：jud判断是否为边界。
注意只要pos<0就可以返回false。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;#define LL long longint digit[20];LL dp[20][20][2000];LL dfs(int l,int o,int pos,bool jud){    if( l==0 ) return pos == 0;    if( pos<0 ) return 0;    if(!jud && dp[l][o][pos] >= 0)return dp[l][o][pos];    int nex = jud ? digit[l] : 9;    LL ans = 0;    for(int i=0;i<=nex;i++)        ans += dfs( l-1 , o , pos+i*(l-o) , jud && i==nex );    return jud ? ans : dp[l][o][pos] = ans;}LL f(LL num){    int pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num/=10;    }    LL ans = 0;    for(int i=1;i<=pos;i++)        ans += dfs(pos,i,0,true);    ans = ans - pos + 1;    return ans;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    memset(dp,-1,sizeof(dp));    int T;    LL m,n;    cin>>T;    while(T--){        cin>>m>>n;        cout<<f(n)-f(m-1)<<endl;    }    return 0;}

G. 【HDU3652】

题意：

[1,n]的含数字13且为13的倍数的数字个数。

思路：

dp[l][mod][iso][has]：l为数字长度，mod为当前数字对13的取余值，iso为是否存在，has为最后一位是否为数字1。
int dfs(int l,int mod,bool iso,bool has,bool jud)：jud判断是否为边界值。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;int digit[11];int dp[11][13][2][2];int dfs(int l,int mod,bool iso,bool has,bool jud){    if(l==0)return (has && !mod);    if(!jud && dp[l][mod][iso][has])return dp[l][mod][iso][has];    int nex = jud ? digit[l] : 9;    int ans = 0;    for(int i=0;i<=nex;i++){        ans += dfs( l-1 , (mod*10+i)%13 , i==1 , has||(iso&&i==3) , jud && i==nex );    }    return jud ? ans : dp[l][mod][iso][has]=ans;}int f(int num){    int pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num/=10;    }    return dfs(pos,0,false,false,true);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    int n;    while(~scanf("%d",&n)){        printf("%d\n",f(n));    }    return 0;}

H. 【HDU4734】

题意：

对于每个数字x，都有一个F（x）值，让你求[0,B]中，函数值小于等于F（A）的数字个数。

思路：

首先计算出F（a）。
dp[l][sum]：l为当前数字长度，sum为F（A）减去之前枚举的数字的数字差（如果差为正则代表F（A）大）。
dfs(int l,int sum,bool jud)：jud判断是否为边界。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;int digit[10],dp[10][100005],CASE;int dfs(int l,int sum,bool jud){    if( l==0 ) return sum >= 0;    if( sum<0 )return 0;    if( !jud && dp[l][sum]>=0 ) return dp[l][sum];    int nex = jud ? digit[l] : 9;    int ans = 0;    for(int i=0 ; i<=nex ; i++)        ans += dfs( l-1 , sum-i*(1<<(l-1)) , jud&&i==nex );    return jud ? ans : dp[l][sum] = ans;}inline int f(int num,int cas){    int pos = 0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num/=10;    }    return dfs(pos,cas,true);}inline int count(int a){    int pos = 0,ans = 0;    while(a){        ans+=(a%10)*(1<<pos++);        a/=10;    }    return ans;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    memset(dp,-1,sizeof(dp));    int T,a,b,cas;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d%d",&a,&b);        cas = count(a);        //cout<<">"<<cas<<endl;        printf("Case #%d: ",++CASE);        printf("%d\n",f(b,cas));    }    return 0;}

I. 【ZOJ3494】

题意：

区间[L，R]的数字转换成BCD之后，不含有forbidden code（即长度不超过20的01组成的数字串）的数字个数。

思路：

forbidden code可以用trie树储存。
dp[l][pos]：l为数字长度，pos为树上的位置。
dfs(int l,int pos,bool zero,bool jud)：zero判断是否为前导零（注意和数字0区分），jud判断是否为边界。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;const int M = 10005,MOD=1000000009;#define LL long longint idx;char str[25];int bcd[2005][10];LL dp[205][2005];int digit[205],len,n;struct Trie{    Trie *next[2];    Trie *fail;    int isword,kind;};Trie *que[M],s[M];Trie *NewNode(){    Trie *tmp=&s[idx];    tmp->next[0]=tmp->next[1]=NULL;    tmp->isword=0;    tmp->fail=NULL;    tmp->kind=idx++;    return tmp;}void Insert(Trie *root,char *s,int l){    Trie *p=root;    for(int i=0; i<l; i++){        if(p->next[s[i]-'0']==NULL) p->next[s[i]-'0']=NewNode();        p=p->next[s[i]-'0'];    }    p->isword=1;}void Bulid_fail(Trie *root){    int head=0,tail=0;    que[tail++]=root;    root->fail=NULL;    while(head<tail){        Trie *tmp=que[head++];        for(int i=0; i<2; i++){            if(tmp->next[i]){                if(tmp==root) tmp->next[i]->fail=root;                else{                    Trie *p=tmp->fail;                    while(p!=NULL){                        if(p->next[i]){                            tmp->next[i]->fail=p->next[i];                            break;                        }                        p=p->fail;                    }                    if(p==NULL) tmp->next[i]->fail=root;                }                if(tmp->next[i]->fail->isword)                    tmp->next[i]->isword=tmp->next[i]->fail->isword;                que[tail++]=tmp->next[i];            }            else if(tmp==root) tmp->next[i]=root;            else tmp->next[i]=tmp->fail->next[i];        }    }}//状态当前在状态pre,经过一个数字num之后到达哪个状态//如果不合法，返回-1int BCD(int pre,int num){    if(s[pre].isword) return -1;    int cur=pre;    for(int i=3;i>=0;i--){        int k=(num>>i)&1;        if(s[cur].next[k]->isword) return -1;        else cur=s[cur].next[k]->kind;    }    return cur;}void Get_next(){    for(int i=0;i<idx;i++){        for(int j=0;j<10;j++){            bcd[i][j]=BCD(i,j);        }    }}LL dfs(int l,int pos,bool zero,bool jud){    if(pos<0) return 0;    if(l==0)return 1;    if(!jud&&dp[l][pos]>=0)return dp[l][pos];    LL ans = 0;    int nex = jud ? digit[l] : 9;    for(int i=0;i<=nex;i++)        ans += dfs( l-1 , zero&&i==0&&l>1 ? pos : bcd[pos][i] , zero&&i==0 , jud&&i==nex );    ans%=MOD;    return jud ? ans : dp[l][pos]=ans;}LL cal(char *s,int l){    memset(dp,-1,sizeof(dp));    for(int i=1;i<=l;i++) digit[l-i+1]=s[i-1]-'0';    dfs(l,0,true,true);}char A[205],B[205];void sub(char *s,int len){    for(int i=len-1;i>=0;i--){        if(s[i]=='0') s[i]='9';        else{            s[i]--;            break;        }    }}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--){        idx=0;        Trie *root=NewNode();        scanf("%d",&n);        for(int i=1; i<=n; i++){            scanf("%s",str);            Insert(root,str,strlen(str));        }        Bulid_fail(root);        Get_next();        scanf("%s",A);        sub(A,strlen(A));        scanf("%s",B);        cout<<((cal(B,strlen(B))-cal(A,strlen(A)))%MOD+MOD)%MOD<<endl;    }    return 0;}

J. 【HDU4507】

题意：

区间[L,R]中，和7无关的数字的平方和是多少？含7的数、数位和为7的倍数、数为7的倍数都是和7有关的数字。

思路：

dp[len][sum][remain]：len为长度，sum为数位和，remain为前缀和。
dfs(int len,int sum,int remain,bool jud)jud判断是否为边界。
维护三个数字：个数，和，平方和。
a[1]^2 + a[2]^2 + … + a[n]^2，新式是 (a[1]+b)^2 + (a[2]+b)^2 + … + (a[n]+b)^2，按照这样的原理求前缀的平方和。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;typedef pair< int,pair<LL,LL> > PILL;//< count , < sum，square sum> >#define F first#define S second#define MP make_pairconst int mod = 1e9+7, mx = 20;int digit[mx];LL pow10[20];PILL dp[20][7][7];bool vis[20][7][7];//边界的答案不同PILL dfs(int len,int sum,int remain,bool jud){    if(!len)        if(sum&&remain)            return MP(1,MP(0LL,0LL));        else            return MP(0,MP(0LL,0LL));    if(!jud&&vis[len][sum][remain])            return dp[len][sum][remain];    PILL res = MP(0,MP(0LL,0LL));    int nex = jud ? digit[len] : 9;    for(int i=0;i<=nex;i++){        if(i==7) continue;        PILL ans = dfs(len-1,(sum+i)%7,(remain*10+i)%7,jud&&i==nex);        LL pref = i * pow10[len-1] % mod;        res.F += ans.F;        res.F %= mod;        res.S.F += ans.S.F + pref * ans.F;        res.S.F %= mod;        res.S.S += ans.S.S + pref * pref % mod * ans.F + 2 * pref * ans.S.F;        res.S.S %= mod;    }    if(!jud){        vis[len][sum][remain]=true;        dp[len][sum][remain]=res;    }    return res;}LL f(LL a){    memset(vis,0,sizeof(vis));    int len=0;    while(a){        digit[++len]=a%10;        a=a/10;    }    return dfs(len,0,0,true).S.S;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    pow10[0]=1;    for(int i=1;i<20;i++)        pow10[i]=pow10[i-1]*10%mod;    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--){        LL a,b,ans;        scanf("%lld%lld",&a,&b);        ans = (f(b)-f(a-1)+mod)%mod;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

K. 【SPOJ10606】

题意：

求[L,R]中positive integer的数字个数。positive integer就是对于一个数字串，偶数数字各有奇数个，奇数数字各有偶数个。

思路：

用一个三进制数字表示每个数字的状态，0为未出现过，1为出现过奇数次，2为出现过偶数次。
dp[l][s]：l为数字长度，s为当前所有数字出现的状态。
dfs(int l,int s,bool zero,bool jud)：zero判断是否为前导零，jud判断是否为边界。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;#define LL long longint dp[20][60000];int digit[20];LL pos[11];void init(){    pos[0]=1;    for(int i=1;i<=10;i++)        pos[i]=pos[i-1]*3;}bool judge(int s){    for(int i=9;i>=0;i--){        if(i%2==0 && s/pos[i]==2) return false;        if(i%2==1 && s/pos[i]==1) return false;        s%=pos[i];    }    return true;}LL dfs(int l,int s,bool zero,bool jud){    if(l==0){        if(judge(s))            return 1;        return 0;    }    if(!jud && dp[l][s]>=0)return dp[l][s];    int nes = jud ? digit[l] : 9;    LL ans = 0;    for(int i=0;i<=nes;i++)        ans += dfs(l-1 , zero&&i==0 ? 0 : ((s%pos[i+1])/pos[i]==2 ? s-pos[i] : s+pos[i]), zero&&i==0 , jud&&i==nes);    return jud ? ans : dp[l][s] = ans;}LL f(LL num){   int pos=0;    while(num){        digit[++pos]=num%10;        num/=10;    }    return dfs(pos,0,true,true);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    init();    int T;    LL a,b;    cin>>T;    memset(dp,-1,sizeof(dp));    while(T--){        cin>>a>>b;        cout<<f(b)-f(a-1)<<endl;    }    return 0;}

参考资料

刘聪《浅谈数位类统计问题》
高逸涵《数位计数问题解法研究》
http://www.cnblogs.com/jffifa/archive/2012/08/17/2644847.html