约束优化方法之拉格朗日乘子法与KKT条件
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引言
本篇文章将详解带有约束条件的最优化问题,约束条件分为等式约束与不等式约束,对于等式约束的优化问题,可以直接应用拉格朗日乘子法去求取最优值;对于含有不等式约束的优化问题,可以转化为在满足 KKT 约束条件下应用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日求得的并不一定是最优解,只有在凸优化的情况下,才能保证得到的是最优解,所以本文称拉格朗日乘子法得到的为可行解,其实就是局部极小值,接下来从无约束优化开始一一讲解。
无约束优化
首先考虑一个不带任何约束的优化问题,对于变量
该问题很好解,根据 Fermat 定理,直接找到使目标函数得 0 的点即可 即
等式约束优化
当目标函数加上约束条件之后,问题就变成如下形式:
约束条件会将解的范围限定在一个可行域,此时不一定能找到使得
求解方法如下:首先对 Lagrangian 关于
令导数为 0 ,求得
因此给出结论:拉格朗日乘子法取得极值的必要条件是目标函数与约束函数相切,这时两者的法向量是平行的,即
所以只要满足上述等式,且满足之前的约束
不等式约束优化
当约束加上不等式之后,情况变得更加复杂,首先来看一个简单的情况,给定如下不等式约束问题:
对应的 Lagrangian 与图形分别如下所示:
这时的可行解必须落在约束区域
由图可见可行解
- 当可行解
x 落在g(x)<0 的区域内,此时直接极小化f(x) 即可; - 当可行解
x 落在g(x)=0 即边界上,此时等价于等式约束优化问题.
当约束区域包含目标函数原有的的可行解时,此时加上约束可行解扔落在约束区域内部,对应
以上两种情况就是说,要么可行解落在约束边界上即得
还有一个问题是
上式需要满足的要求是拉格朗日乘子
可见对于不等式约束,只要满足一定的条件,依然可以使用拉格朗日乘子法解决,这里的条件便是 KKT 条件。接下来给出形式化的 KKT 条件 首先给出形式化的不等式约束优化问题:
列出 Lagrangian 得到无约束优化问题:
经过之前的分析,便得知加上不等式约束后可行解
∇xL(x,α,β)βjgj(x)hi(x)gj(x)βj=0=0, j=1,2,...,n=0, i=1,2,...,m≤0, j=1,2,...,n≥0, j=1,2,...,n(1)(2)(3)(4)(5)
满足 KKT 条件后极小化 Lagrangian 即可得到在不等式约束条件下的可行解。 KKT 条件看起来很多,其实很好理解:
(1) :拉格朗日取得可行解的必要条件;
(2) :这就是以上分析的一个比较有意思的约束,称作松弛互补条件;
(3)
(5) :不等式约束的 Lagrange Multiplier 需满足的条件。
主要的KKT条件便是 (3) 和 (5) ,只要满足这俩个条件便可直接用拉格朗日乘子法, SVM 中的支持向量便是来自于此,需要注意的是 KKT 条件与对偶问题也有很大的联系,下一篇文章就是拉格朗日对偶。
参考文献:
1. 书:PRML | 《机器学习方法》-李航 |《机器学习》-周志华
2. http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7919597
3. http://blog.csdn.net/timingspace/article/details/50966105
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5. http://blog.csdn.net/johnnyconstantine/article/details/46335763
6. http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/KKT.pdf nice PPT
http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/Duality.pdf
7. http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982684.html
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