1.引入概念
最大似然估计是建立在最大似然原理的基础之上。最大似然原理的直观理解是：设一个随机试验有若干个可能的结果A1,A2,...,An，在一次试验中，结果Ak出现，则一般认为实验对Ak的出现最有利，即Ak出现的概率较大。这里用到了”概率最大的事件最可能出现”的直观想法，然后对Ak出现的概率公式求极大值，这样便可解未知参数。下面用一个例子说明最大似然估计的思想方法。
假设一个服从离散型分布的总体X,不妨设X∼B(4,p)，其中参数p未知.现抽取容量为3的样本，X1,X2,X3,如果出现的样本观测值为1,2,1，此时p的取值如何估计比较合理？注：B(n,p)为二项分布，二项分布指每一次实验只有0和1两个结果，其中n表示实验次数，p表示每次结果为1的概率，概率求解公式为：
P(x=k)=Ckn∗pk∗(1−p)n−k (1.1)
考虑这样一个问题，为什么样本结果是1,2,1，而不是另外一组x1,x2,x3呢？设事件A={X1=1,X2=2,X3=1}，事件B={X1=x1,X2=x2,X3=x3},应用概率论的思想，大概率事件发生的可能性比小概率事件发生的可能性要大，即A发生的概率较大，套用公式1.1可以得出：
P(A)=C14p(1−p)3∗C24p2(1−p)2∗C14p(1−p)3=96p4(1−p)8
应该让P(A)的取值应该尽可能大。对P(A)进行求导取极值可知，当p=1/3时，P(A)取到最大值，所有有理由认为p=1/3有利于事件A发生，所有p应该取值为1/3比较合理。
2.给出似然函数定义
设X1,X2,...,Xn为来自总体X的简单随机样本，x1,x2,...,xn为样本观测值.称
L(θ)=∏i=1np(xi,θ)
为参数
θ的似然函数。其中，当总体
X为离散型随机变量时，
p(xi,θ)表示X的分布列
P{X=xi}=p(xi,θ)；当总体
X为连续性型随机变量时，
p(xi,θ)表示
X的密度函数
f(x,θ)在
xi处的取值
f(xi,θ)=p(xi,θ)。
参数θ的似然函数L(θ)实际上就是样本X1,X2,...,Xn恰好取观察值x1,x2,...,xn(或其领域)的概率。如果总体X为离散型随机变量时，
L(θ)=P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}=P{X1=x1}∗P{X2=x2}∗...∗P{Xn=xn}=
∏i=1np(xi,θ)
如果总体
X为连续性型随机变量，由于当
Δxi非常小时,
P{xi−Δxi2<Xi<xi+Δxi2}=P{xi−Δxi2<X<xi+Δxi2}=∫xi+Δxi2xi−Δxi2f(x,θ)dx≈f(xi,θ)∗Δxi于是
P{x1−Δx12<X1<x1+Δx12,x2−Δx22<X2<x2+Δx22,...,xn−Δxn2<Xn<xn+Δxn2}=
∏i=1nP{xi−Δxi2<Xi<xi+Δxi2}≈∏i=1nf(xi,θ)Δxi=L(θ)∏i=1nΔxi
注意我们求的是样本落在区间[xi−Δxi,xi+Δxi]的概率，而不是样本落在点xi的概率，现在我们求出了落在区间的概率为L(θ)∏i=1nΔxi
又该区间的概率应该近视等于P{X=xi}∗Δxi,即用点xi的发生概率代表区间平均概率密度，所以L(θ)代表的是一组点对应的概率的乘积，即样本X1,X2,...,Xn落在观测值x1,x2,...,xn附近的概率。
3.最大似然估计
设
L(θ)=∏i=1np(xi,θ)
为参数
θ的似然函数，若存在一个只与样本观察值
x1,x2,...,xn有关的实数
θ^(x1,x2,...,xn),使得 L(θ^)=maxL(θ) 则称
θ^(x1,x2,...,xn)为参数
θ的最大似然估计值，称
θ^(X1,X2,...,Xn)为参数
θ的最大估计量。
注意θ^(x1,x2,...,xn)仅仅是一个实数值，后面带的(x1,x2,...,xn)表示这个值的取值与它们有关。 由上可知，所谓最大似然估计是指通过求似然函数
L(θ)的最大(或极大)值点来估计参数
θ的一种方法。
另外，最大似然估计对总体中未知参数的个数没有要求，可以求一个未知参数的最大似然估计，也可以一次求多个未知参数的最大似然估计，这个通过对多个未知参数求偏导来实现，因为多变量极值就是偏导运算。需要注意的是，似然函数L(θ)不一定有极大值点，但是未必没有最大值点，所以对于有些问题，求导求极大值可能会失效，这时需要考虑边界点。
