益智题

1、一个数字，去掉前面一个数字后，是13。去掉最后一个数字后，是40。这个数字是什么？

2、这一等式很奇怪，0比2大，2比5大，5比0大。为什么？

3、只字加一笔，会是什么字？

4、人加一笔，除了大/个，还有什么字？

5、桌子上有2、1、6三张卡片，请问摆成一个什么数字可以让43整除？

嘻嘻，明天公布答案~

 

1、一个数字，去掉前面一个数字后，是13。去掉最后一个数字后，是40。这个数字是什么？

答案：四十三

2、这一等式很奇怪，0比2大，2比5大，5比0大。为什么？

答案：剪刀石头布

 

2、这一等式很奇怪，0比2大，2比5大，5比0大。为什么？
0.25>0


3、只字加一笔，会是什么字？

答案：冲

4、人加一笔，除了大/个，还有什么字？

答案：及

 

4、人加一笔，除了大/个，还有什么字？
亿、及、夕、千、亾


5、桌子上有2、1、6三张卡片，请问摆成一个什么数字可以让43整除？

答案：129。 6可以倒着放

 

 

 

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　　　　　　　包子张嘴了。(猜一歇后语)

猜一歇后语 2
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　　　　　　　猫爪伸到鱼池里。(猜一歇后语)

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加减乘除
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将符号＋、－、×适当填入下列各式的圆圈中使等式成立

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(1)10○(9○8○7○6)○(5○4○3)○2○1=2000

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(2)(10○9○8○7○6)○5○(4○3○2○1)=2000

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(3)10○[9○8○7○(6○5○4)○3]○2○1=2000

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(4)1○2○(3○4○5○6)○(7○8)○9○10=2000

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(5)(1○2○3○4)○5○(6○7○8○9○10)=2000

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(6)1○(2○3)○4○(5○6)○(7○8○9)○10=2000

正确答案是：
(1)＋××－×－＋－×
(2)＋×－×××＋＋＋
(3)××＋＋＋－×××
(4)＋×××＋×＋＋＋
(5)＋＋＋××＋＋＋＋
(6)×＋××－×－－×

买鸡蛋
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王老太上集市上去卖鸡蛋，第一个人买走蓝子里鸡蛋的一半又一个，第二个人买走剩下鸡蛋的一半又一个，这时蓝子里还剩一个鸡蛋，请问王老太共卖出多少个鸡蛋？

答案： 　　王老太共卖了10个鸡蛋。

蜡烛的长度
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有长短两支蜡烛（两支蜡烛同样时间燃烧的长度相同），它们的长度之和是56厘米。将它们同时点燃一段时间后，长蜡烛同短蜡烛点燃之前一样长，这时短蜡烛的长度又恰巧是长蜡烛的三分之二。点燃之前，长蜡烛有多长？

答案：长的为 32，短的为 24

验证如下
32 ＋ 24 ＝ 56
32 - 8 = 24
24 - 8 = 16
24 * (2/3) = 16

国王为什么不能兑现承诺
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印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想得到什么样的奖赏，大臣说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人。”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽块地答应了。国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。国王这才发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？

鸡兔同笼
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大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？同学们，你会解答这个问题吗？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的？

答案：　 原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，即：47-35=12（只）；鸡的数量就是：35-12=23（只）。 当然，这道题还可以用方程来解答。我们可以先设兔的只数（也就是头数）是x, 因为“鸡头+兔头=35”，所以“鸡头=35-x”。由此可知，有x只兔，应该有4x只兔脚，而鸡的只数是（35-x）,所以应该有2×（35－x）只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总共是94只，因此，我们可以列出下面的关系式： 4x+2×(35－x)=94 x=12 于是可以算出鸡的只数是35-12=23。 还有一道这样的题：“100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大、小和尚各多少个？”它的答案是大和尚有25个，小和尚有75个。你知道是怎样算的吗？

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电影院的座位问题
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某电影院共有2001个座位。在新世纪的第一天放映电影上、下午各一场，有甲、乙两所学校各有2001个学生(同一个学校的学生有的看上午场，有的看下午场)。
试证明：在该电影院里一定有这样的座位，在这天看电影时，上、下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。

证明： 设甲校上午有N个学生来看电影，则乙校上午有2001-N个学生来看；到下午时，甲校有2001-N个学生来看，而乙校有N个学生看。假设每个座位上、下午坐的都是同一学校的学生，则每个学校上午占的座位数与下午占的座位数必相等，即N=2001-N，亦即2001=2N，这显然不可能。因此，至少存在一个这样的座位，其上、下午坐的是不同学校的学生。 以上用的是数的奇偶性，在现实中，有些问题，如： 1.在13个人中至少有二人在同一个月中出生； 2.如果把N+1个东西放入N个盒子，则至少有一个盒子是有两件或更多件东西。可以用“抽屉原理”或即“鸽笼原理”加以解决。应用“抽屉原理”，可以很简单地证明一些用其它方法难以证明的命题。

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渡河问题
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　猎人要把一只狼，一头羊和一篮白菜从河的左岸带到右岸，但他的渡船太小，一次只能带一样。因为狼要吃羊，羊会吃白菜，所以狼和羊，羊和白菜不能在无人监视的情况下相处。问猎人怎样才能达到目的？

　解：稍加思考就可得到渡河的方法，如下：第一次，猎人把羊带至右岸；第二次，猎人单身回左岸，把白菜带至右岸，此时右岸有猎人，羊和白菜；第三次，猎人再把羊带回左岸，放下羊把狼带至右岸，此时右岸有猎人，狼和白菜；第四次，猎人单身回左岸，最后把羊带至右岸，便可完成渡河的任务。

烤面包的时间
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史密斯家里有一个老式的烤面包器，一次只能放两片面包，每片烤一面。要烤另一面，你得取出面包片，把它们翻个面，然后再放回到烤面包器中去。烤面包器对放在它上面的每片面包，正好要花1分钟的时间烤完一面。
一天早晨，史密斯夫人要烤3片面包，两面都烤。史密斯先生越过报纸的顶端注视着他夫人。当他看了他夫人的操作后，他笑了。她花了4分钟时间。
“亲爱的，你可以用少一点的时间烤完这3片面包，”他说，“这可以使我们电费账单上的金额减少一些。”
史密斯先生说得对不对？如果他说得对，那他的夫人该怎样才能在不到4分钟的时间内烤完那3片面包呢？

正确答案是：用3分钟的时间烤完3片面包而且是两面都烤，是一件简单的事。我们把3片面包叫做A、B、C。每片面包的两面分别用数字l、2代表。烤面包的程序是： 第一分钟：烤A1面和B1面。取出面包片，把B翻个面放回烤面包器。把A放在一旁而把C放入烤面包器。 第二分钟：烤B2面和C1面。取出面包片，把C翻个面放回烤面包器。把B放在一旁（现在它两面都烤好了）而把A放回烤面包器。 第三分钟：烤A2和C2面。至此，3片面包的每一面都烤好了

棋的问题
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　　有一个放棋子的游戏：有一个圆形或矩形的纸片作为棋盘，甲乙二人轮流往此棋盘上放围棋子。每人每次放一个，每次放上新棋子时不准与前面已经放进去的棋子发生重迭。谁最先放不上棋子谁就算输。
　 现在的问题是：如果由甲先放，能否预测一下谁输谁赢？

　分析：　 在这个游戏中，主动权利也是掌握在先放者的手中。比如甲先放，则甲只要把第一枚棋子放到棋盘的对称中心处，然后每一次总把棋子放在乙所放的棋子的对称点处（关于圆心或矩形两条对角线的交点为中心对称），甲就一定能赢。因为只要乙有地方放，乙放棋子的对称点处就一定有空儿允许甲放，甲不会遇到无处放的情况。最先遇到无处放棋子这个问题的一定是乙而不是甲。
　 当然，如果甲的第一枚棋子没有放到棋盘的对称中心的位置上，或者以后没有把每一枚都放到乙的对称点上，那胜负就不好预料了。

没有时间上学
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　“但是我没有时间上学，”埃迪向劝学员解释道，“我一天睡眠8小时，以每天为24小时计，一年中的睡眠时间加起来大约122天。星期六和星期天不上课，一年总共是1O4天。我们有6O天的暑假。我每天用膳要花3小时——一年就要45天以上。我每天至少还得有2小时的娱乐活动——一年就要超过3O天。”
埃迪边说边匆匆写下这些数字，然后他把所有的天数加起来。结果是361天。
睡眠（一天8小时） 122
星期六和星期天 1O4
暑假 60
用膳（一天3小时） 45
娱乐（一天2小时） 3O
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总和 361天
“你瞧，”埃迪接着说，“剩下给我病卧在床的只有4天，我还没有把每年7天的学校假期考虑在内呢！
劝学员搔搔头。“这里有差错，”他咕哝道。但是，他左思右想，也未能发现埃迪的数据有何不准确之处。你能解释错误何在吗？

正确答案是： 埃迪在他的数字中隐藏的花招是，他对时间进行了有重叠的分类。这样，同样的一段时间就会不止一次地被计及。举一个例子，在他那60天的暑假期间，他既要用膳又要睡眠。这些用膳和睡眠的时间，既被计入暑假时间之中，又分别被计入全年的用膳时间和睡眠时间之中。 重叠分类，是统计工作中特别是医学统计工作中十分常见的一种错误。你可能在什么地方读到过这样的报道：在某个社区中，3O％的人患维生素A缺乏症，3O％的人患维生素B缺乏症，3O％的人患维生素C缺乏症。如果你从这个报道得出只有10％的人不患这三种维生缺乏症的结论，那你就犯了一种推理上的错误。这种错误的推理与埃迪对劝学员狡辩时所用的那种属同样的类型。可能是社区中3O％的人患了所有这三种维生素缺乏症，而其余7O％的人根本没有患任何维生素缺乏症！

他们各自在做什么呢
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住在某个旅馆的同一房间的四个人A、B、C、D正在听一组流行音乐，她们当中有一个人在修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，另一个人在看书。
1.A不在修指甲，也不在看书；
2.B不躺在床上，也不在修指甲；
3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲；
4.C既不在看书，也不在修指甲；
5.D不在看书，也不躺在床上。
他们各自在做什么呢？

　解法一：可用排除法求解由1、2、4、5知，既不是A、B在修指甲，也不是C在修指甲，因此修指甲的应该是D；但这与3的结论相矛盾，所以3的前提肯定不成立，即A应该是躺在床上；在4中C既不看书又不修指甲，由前面分析，C又不可能躺在床上，所以C是在写信；而B则是在看书。

　　 解法二：我们可以画出4×4的矩阵，然后消元 A B C D 修 指 甲 - - - + 写 信 - - + - 躺在床上 + - - - 看 书 - + - - 　 注意：每行每列只能取一个，一旦取定，同样同列要涂掉我们用“-”表示某人对应的此项被涂掉，“+”表示某人在做这件事。 ①根据题目中的1、2、4、5我们可以在上述矩阵中涂掉相应项，用“-”表示。（可知D在修指甲，B是在看书） ②题目中的解为A≠“躺在床上”则D≠“修指甲”；那么其逆否命题为：若D=“修指甲”，则A=“躺在床上”。（由①可知，A应该是“躺在床上”，所以在“躺在床上”的对应项处划上“+”） ③现在观察①②所得矩阵情况，考察A、B、C、D各列的纵向情况，可是在“写信”一项所对应的行中，只能在相应的C处划“+”，即C在写信。至此，此矩阵完成。我们可由此表得出判断。这实际是一道逻辑推理题。

他们的国籍
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　　有六个不同国籍的人，他们的名字分别为A，B，C，D，E和F；他们的国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄罗斯和意大利（名字顺序与国籍顺序不一定一致）
现已知：
（1）A和美国人是医生；
（2）E和俄罗斯人是教师；
（3）C和德国人是技师；
（4）B和F曾经当过兵，而德国人从没当过兵；
（5）法国人比A年龄大，意大利人比C年龄大；
（6）B同美国人下周要到英国去旅行，C同法国人下周要到瑞士去度假。
请判断A、B、C、D、E、F分别是哪国人？

答案：C.英国人； A.意大利人； B.俄罗斯人； E.法国人； F.美国人 D.德国人

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儿子的启示
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　　数学家们很善于从日常生活中发现数学问题。比如，有一次苏格兰数学家莱格福德乍他儿子玩彩色板。孩子从玩具盒中拿出红、蓝、黄三种色板各两块，排成一排，其顺序是：黄、红、蓝、红、黄、蓝，莱格福德发现，这个排列有这样一些特点：
两块红板之间有一块其它颜色的色板；两块蓝板之间有两块其它颜色的色板；两块黄板之间有三块其它颜色的色板。
他想，如果用1、2、3分别表示红、蓝、黄三块色板，上面的特点就可以表示成：
两个1之间有一个其它数字；两个2之间有两个其它数字；两个3之间有三个其它数字。这样，莱格福德就从生活中抽象出了一个数学问题。如果上面的问题是：怎样排列1、1、2、2、3、3、4、4，才能使两个1之间有一个其它数字，两个2之间有两个其它数字，两个3之间有三个其它数字，两个4之间有四个其它数字？你会解答吗？这个问题有两个答案，一个是41312432。另一个是怎样排列的，请你找出来

 

小明不知道现在是什么时间，但再过1999小时2000分2001秒，时针、分针、秒针正好重合在表盘的“12”上。你说现在是什么时间？

解：现在是7点24分39秒。
　　1999小时，2000分，2001秒可写成2032小时35分21秒。如果开始计时是12点（即三针重合正对“12”），那么经过2032小时35分21秒后的时间应当是4点35分21秒。因此为满足题中的条件，开始的时间就是12点倒退4小时35分21秒，即7点24分39秒。

蜗牛何时爬上井
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　　 一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。它趴在井底哭了起来。一只癞（ lai）蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去！请问这口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑话！这井有１０米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了５米。蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。”想着想着，它不知不觉地睡着了。早上，蜗牛被一阵呼噜声吵醒了。一看原来是癞大叔还在睡觉。它心里一惊：“我怎么离井底这么近？”原来，蜗牛睡着以后从井壁上滑下来４米。蜗牛叹了一口气，咬紧牙又开始往上爬。到了傍晚又往上爬了５米，可是晚上蜗牛又滑下４米。爬呀爬，最后坚强地蜗牛终于爬上了井台。小朋友你能猜出来，蜗牛需要用几天时间就能爬上井台吗？

答案：6天。知道为什么吗？

两个部落
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　　有个海岛上住着两个部落。一个部落的成员总是说实话，另一个部落的成员总是说谎话。
一位传教士碰到两位土著人，一位是高个子，另一位是矮个子。“你是说实话的人吗？”他问高个子。
“Oopf，”高个子的土著人答道。
传教士知道这个土著语单词的意思为“是”或“不是”，可是记不清究竟是哪一个。矮个子的土著人会说英语，传教士便向他询问他的伙伴说的是什么。
“他说‘是’，”矮个子的士著人答道，“但他是一个大说谎家！”
这两位土著人各属于哪一个部落？

　正确答案是： 当传教士问高个子的土著人是不是说实话的人时，答话中“Oopf”的意思必定为“是”。如果这位土著人是个说实话的人，他一定如实地答复“是”；而如果他是个说谎话的人，他一定隐瞒真相，仍然答复“是”。 因此，矮个子的土著人告诉传教士，他的伙伴说的是“是”，他说的是真实情况。从而，他说他的伙伴是个说谎的人，他说的也必定是真实情况。 结论：高个子是一个说谎的人，矮个子是一个说实话的人。

曾祖和曾孙
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　　有一天，他在街上行走。远远的走过来一位老大娘，旁边还跟着一位小姑娘。
王彩明走上前，很有礼貌的鞠了个躬，问：“老奶奶，我能打扰您一下，问您几个问题吗？”
“好啊！”老奶奶很高兴。
王彩明问道：“请问您多大岁数了？”
老奶奶说：“二十世纪某一年，我的年龄的平方数正是那一年的公元数；到二十一世纪的某一年，曾孙女年龄的平方也正是那一年的公元数。你知道我和我的曾孙女的年龄了吗？“
王彩明一下子被这道题难住了......
现在请你帮他算一算好吗？

　　答案：曾孙女1980年出生，老奶奶1802年出生。

数学神童维纳的年龄
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　　20世纪著名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。
　　 在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”
　　 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。

　　其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。
　　剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！
　　这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。

日期、星期快速计算法
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　　1991年1月31日是星期四，你能很快说出1991年3月25日是星期几吗？

　　在上小学时，有一位同学和我作过这样一个游戏：他让我随便说出当年的某一月某一日，他不用看日历就能很快、准确地说出这天是星期几。 我拿来了一本日历，与他试验了几次。果然他每次都说得很快也很准。我知道他不可能把一年三百六十五天每天星期几都背下来，所以他的本事引起了我很大的兴趣。 后来我知道了他的计算方法：他心里记住了十二个数字，这十二个数字分别对应于当年的十二个月。要计算当年的某月某日是星期几，只要用那日的日数加上那月所对应的数字，然后除以7，余几就是星期几，恰好除尽就是星期日。 我清楚地记得那年的十二个月所对应的数字依次是 1，4，4，0，2，5，0，3，6，1，4，6 碰巧，1991年的十二个月所对应的数字依次也是这十二个数字。下面就以1991年为例具体地谈一下这种方法。 我们先要把下表中的各数牢牢地记在心里： 1991年的月份　　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 各月对应的数字　1 4 4 0 2 5 0 3 6　1　4　6 　 例如要计算1991年6月25日是星期几。我们心里想到6月份对应的数字是5，就用25加上5，得到30；再用30除以7，余2，则1991年6月25日是星期二。 再如，要计算1991年9月1日是星期几。9月对应的数字是6，1+6=7，7除以7没有余数，所以1991年9月1日是星期日。 可见，只要心里熟记144025036146这一串数字，就能算出1991年的几月几日是星期几。 144025036146这一串数字是从哪儿来的呢？它们就是分别所对应的月份的上一个月的最后一天的星期数。例如，1991年1月31日是星期四，所以1991年2月份对应的数字就是4。每月1日的星期数，当然是头一天（即上个月的最后一天）的星期数的基础上加上1；以后每过1天，星期数就增加工厂；7天一个周期（即一个星期），所以很容易想通这个方法。 为了找出1992年12个月份所对应的各个数字，也就只需记下1992年每个月份的上一个月的最后一天是星期几。利用年历容易查得下表： 1992年的月份 　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 各月对应的数字 2 5 6 2 4 0 2 5　1　3　6 1 　 例如要计算1992年8月15日是星期几。我们查到1992年8月份对应的数字是5，15+5=20，20除以7余6，所以1992年8月15日是星期六。 平年每年有365天。365=52×7+1，即：平年每年有52个星期零1天。所以，如果连续两年都是平年，则第二年每月对应的数字就是在第一年对应月份对应的数字的基础上加上1。 闰年的2月有29天。闰年全年365天，是52个星期零两天。从闰年的3月份开始的连续12个月中，每个月对应的数字等于一年前同一月份对应的数字加上2。 例如，1992年是闰年。1992年3月至12月各月对应的数字都等于1991年对应月份的数字加上2。从1992年3月份到1993年2月份才满12个月，所以1993年1月和2月对应的数字也分别等于1992年1月和2月对应的数字加上2（逢7变0，逢8变1）。 1993年是平年。从1993年3月份开始，直到下一个闰年（1996年）的2月份，每个月所对应的数字都等于一年前同一月份所对应的数字加上1。 下表所列的是近几年每个月对应的数字： 月 　　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1991年 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1　4　6 1992年 2 5 6 2 4 0 2 5 1 3　6　1 1993年 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4　0　2 1994年 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5　1　3 1995年 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6　2　4 1996年 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1　4　6 1997年 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 　5 0 1998年 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3　6 　1 每年记住一串（12个）数字就能心算出全年每一天是星期几，应该说是相当方便的。
　　　看完了，试试看！

称洗衣粉的问题
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　一袋一袋的洗衣粉堆成十堆，九堆洗衣粉是合格产品，每袋1斤。唯独有一堆分量不足，每袋只有9两。从外形上看，看不出哪一堆是9两的。用台称一堆一堆去称吧，称的次数比较多。有人找到一个办法，只称了一次，就找到了9两的那一堆。这是个什么办法呢？如果有四十堆洗衣粉，其中有一堆是9两一袋的，那么要称几次才能找出这一堆？

原书的解答是这样的：
　　你注意过乘法口诀的特点吗？一个数乘9，乘积中的个位数，没有相同的数：0×9=0，1×9=9，2×9=18，3×9=27，4×9=36，5×9=45，6×9=54，7×9=63,8×9=72，9×9=81。称洗衣粉就要用到这个特点。
将十堆洗衣粉编上号码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。从第1堆取一袋洗衣粉，从第2堆取两袋，从第3堆取三袋，…，从第9堆取九袋，第10堆不取。把取出来的洗衣粉用秤称一下，只注意总重量几斤几两的两数，如果是3两，就知道第7堆是九两一袋。如果是0两，那是第几堆呢？ 请你再想一想。 如果有四十堆，就要称三次。第一次先从二十堆中每堆中取出一袋一起称。如果重量是20斤，说明九两的那堆在剩下的二十堆中。不然，就在这二十堆中。第二次再从包含九两一堆的二十堆中选取十堆，每堆取一袋在台称上称。从重量是否10斤，就可以确定九两一堆的在哪十堆中。第三次，将包括九两一堆的十堆按照前面的办法称一次，就确定了哪一堆是九两的。 上述解法启发学生们注意9的倍数的个位数字的规律，应该说是很好的。但是这种方法只适用于堆数不超过10的情况。如果堆数在10以上，仍然从第几堆就拿出几袋一起称，光注意总重量是几斤零几两的两数就不行了。比如，2×9=18，12×9=108，18与108的个位数字都是8。如果称出的总重量几斤几两的两数是8两，就判断不出是第2堆还是第12堆是九两一袋的。正因如此，上述解答告诉我们：如果有四十堆洗衣粉，就要称三次。 比如一共有四十堆，给它们分别编上号码1，2，3，4，…，37，38，39，40。然后，每堆的编号是几，就从其中拿出几袋洗衣粉，放在台秤上称总重量。 台秤上一共有多少袋洗衣粉呢？ 1+2+3+4+…+37+38+39+40 =（1+40）×20 =820， 台秤上一共有820袋洗衣粉。 如果四十堆洗衣粉都是合格品，也就是说每一堆中的每一袋都恰好是一斤，那么台秤上的洗衣粉的总重量应该是820斤。 但是现在已知"唯独有一堆"分量不足，每袋只有九两，因而台秤上的820袋洗衣粉的总重量必定不够820斤。 我们注意台秤上洗衣粉的总重量，不仅要注意零头是几两，而且要准确地注意是多少斤多少两，再算一下这个总重量比820斤一共少几两。少几两就说明台秤上有几袋是九两一袋的，于是我们就能知道哪一堆是九两一袋的。 为了减少麻烦，最后通牒一堆也可以一袋都不取，只从前面三十九堆中是第几堆就取几袋一起放到台秤上称。这样，台称上总共就有780袋洗衣粉。如果称得的总重量恰好是780斤，就说明最后一堆是九两一袋的。如果总重量不够780斤，那么，比780斤少几两，第几堆就是九两一袋的。 如果一共不是有四十堆洗衣粉，而是一共有十堆、二十堆，或者三十堆、五十堆，只要每一堆洗衣粉都有足够多袋，而且台秤足够大、足够准，都可以用这样的方法称一次就把那堆九两一袋的找出来。

他们各自在做什么呢
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　　住在某个旅馆的同一房间的四个人A、B、C、D正在听一组流行音乐，她们当中有一个人在修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，另一个人在看书。
1.A不在修指甲，也不在看书；
2.B不躺在床上，也不在修指甲；
3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲；
4.C既不在看书，也不在修指甲；
5.D不在看书，也不躺在床上。
他们各自在做什么呢？

　解法一：可用排除法求解由1、2、4、5知，既不是A、B在修指甲，也不是C在修指甲，因此修指甲的应该是D；但这与3的结论相矛盾，所以3的前提肯定不成立，即A应该是躺在床上；在4中C既不看书又不修指甲，由前面分析，C又不可能躺在床上，所以C是在写信；而B则是在看书。

　　 解法二：我们可以画出4×4的矩阵，然后消元 A B C D 修 指 甲 - - - + 写 信 - - + - 躺在床上 + - - - 看 书 - + - - 　 注意：每行每列只能取一个，一旦取定，同样同列要涂掉我们用“-”表示某人对应的此项被涂掉，“+”表示某人在做这件事。 ①根据题目中的1、2、4、5我们可以在上述矩阵中涂掉相应项，用“-”表示。（可知D在修指甲，B是在看书） ②题目中的解为A≠“躺在床上”则D≠“修指甲”；那么其逆否命题为：若D=“修指甲”，则A=“躺在床上”。（由①可知，A应该是“躺在床上”，所以在“躺在床上”的对应项处划上“+”） ③现在观察①②所得矩阵情况，考察A、B、C、D各列的纵向情况，可是在“写信”一项所对应的行中，只能在相应的C处划“+”，即C在写信。至此，此矩阵完成。我们可由此表得出判断。这实际是一道逻辑推理题。

三条领带
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　　黄先生、蓝先生和白先生一起吃午饭。一位系的是黄领带，一位是蓝领带，一位是白领带。
“你们注意到没有，”系蓝领带的先生说，“虽然我们领带的颜色正好是我们三个人的姓，但我们当中没有一个人的领带颜色与他自己的姓相同？”
“啊！你说得对极了！”黄先生惊呼道。请问这三位先生的领带各是什么颜色？

　　正确答案是：答案 黄先生系的是白领带。 白先生系的是蓝领带。 蓝先生系的是黄领带。 黄先生不可能系黄领带，因为这样他的领带颜色就与他的姓相同了。他也不可能系蓝领带，因为这种颜色的领带已由向他提出问题的那位先生系着。所以黄先生系的必定是白领带。 这样，余下的蓝领带和黄领带，便分别由白先生和蓝先生所系了。

唐僧师徒摘桃子
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　　一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问："你们每人各摘回多少个桃子？"
八戒憨笑着说："师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？"

　　沙僧神秘地说："师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？"

　　悟空笑眯眯地说："师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？"

　　唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们每人摘多少个桃子吗？

正确答案是：61个，你做对了吗？

自作聪明的小猴
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　　一天，马戏团要举行动物运动会，可乐坏了小动物们。
比赛开始，大象裁判宣布：首先举行的小狗和小猴参加的100米预赛。 不料，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，它气得嘴巴噘上了天！ 决赛时，自作聪明的小猴突然提出："小狗天生跑得快，如果我们站在同一起跑线上赛跑不公平。我提议它的起跑线向后挪10米。" 小狗握住小小猴的手表示同意。小猴乐滋滋地想，这样我会和小狗同时到达终点了。 你说小猴会如愿以偿吗？

　　正确答案是：小猴是自作聪明，小狗始终会先到终点！想想为什么吧

有关兔跳的难题
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　　 柯瓦列夫斯卡娅，是苏联伟大的数学家。她在童年的时候，就解开了妈妈给她提出的一个有关兔跳的难题。题 目是这样的：“森林里有一对兔兄弟，它们在进行跳跃比赛。兔弟弟说：应该先让它跳10次，哥哥才可以起步。假如在同样的时间内，兔弟弟跳4次兔哥哥跳3次；而兔哥哥跳5次的距离相当于免弟弟跳7次那样远。那么兔哥哥可能赶上免弟弟吗？如果可能，它要在跳多少次后才能赶上兔弟弟呢？”

　　 柯瓦列夫斯卡娅是怎样考虑的呢？她想：在同样时间内，兔哥哥跳3次，一兔弟弟跳4次，但兔哥哥跳5次的距离相当于免弟弟跳7次的距离。她为了便于分析比较，把兔哥哥跳的次数定为15次（15是3和5的最小公倍数），再考虑兔哥哥跳15次要多少时间，能跳出多远。这样可以推算出：兔哥哥跳15次的时间里，兔弟弟跳了4×5＝20次；而兔哥哥跳15次的距离等于兔弟弟跳7×3＝21次的距离。可见，虽然兔哥哥和兔弟弟都在前进，但兔哥哥比兔弟弟跳得远，所以是能赶上兔弟弟的。由此可知，兔哥哥每跳15次，可以缩短与兔弟弟跳1次那样远的距离。现在免弟弟先跳10次，所以免哥哥要跳150次后才能赶上兔弟弟。

乘车兜风
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　　"你在忙乎什么吧，比尔，"教授留意地说。这时他的这位朋友正一口气喝完剩下的咖啡，站来要走。"准备带三个女孩乘车游览！"比尔答道。 教授笑了："原来如此！敢问三位佳丽芳龄几许？" 比尔思考片刻说："把她们年龄乘在一起得到2450，可她们年龄和恰是您年龄的两倍"。教授摇了摇头说："非常灵巧，但对她们的年龄仍然有疑问。" 比尔还在那里，他补充道："是的，我忘了提起，我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。"而这使得一切都变得清楚了！ 当然，教授是知道他朋友的年龄的，请问，你能算出他们的年龄吗？

正确答案是（仅作参考）： 教授：23 比尔：24 三个女孩分别是： 7、14、25

过桥
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　　今有a b c d 四人在晚上都要从桥的左边到右边。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。

四人过桥最快所需时间如下:

a 2 分

b 3 分

c 8 分

d 10分

走的快的人要等走的慢的人，请问如何的走法才能在 21 分 让所有的人都过桥?

　　正确答案是： 1.a,b---》 3分 2.a ---》 2分 3.c,d---》10分 4.b ---》 3分 5.a,b---》 3分 ---------------- 21分

握手问题
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　　 初次见面，通常以握手示礼，适当的握手时间与力度，会让人有股舒服亲切的感受。老师为了让全班新同学互相认识，请班上41位同学彼此握手为礼，并同时彼此介绍自己。在一阵喧哗后，同学完成工作。老师提出一个问题：“谁知道，刚才全班同学总共握手几次？”有同学举手抢答说820次，他说的对不对？

答案：对！

架桥问题
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在 A、B 两地之间，开凿一条等宽的运河，为了两地的交通便利，计划在河面造桥。桥应该造在何处，A、B两地的居民才能有一条最便利的快捷方式呢？ 图如下：

　　A●

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　　　　　　　　　　　　　●B

正确答案是：架桥方法： 1．过A点做河岸的垂直线；并取AC，使其长等于运河河面宽度。 2．连接B、C两点，直线交河岸(靠B地)于E点。 3．过E点做河岸的垂直线，交对岸于D点。 4．DE就是桥梁所在。 理由： 因为ACED是平行四边形，AD+DE+BE=BC+DE，是最小值。因为B、C两点之间以BC最短。

 

 

 

同余性质
1:a≡amod(n)
2:如果a≡bmod(n),则b≡amod(n),
3:如果a≡bmod(n),b≡cmod(n),则a≡cmod(n)
4:如果a≡bmod(n),c≡dmod(n),则a+c≡b+dmod(n)
5:如果a≡bmod(n),c≡dmod(n),则ac≡bdmod(n)
6:如果a≡bmod(n),则a^m≡b^mmod(n).

例1：1998年元旦是星期四，2000年元旦是星期几？

分析：1998年元旦到1999年元旦是365天，1999年元旦到2000年元旦也是365天，共计730天，730/7的余数是2，所以2000年元旦是星期六。

例2：任意给定12个不同的两位数，其中是否一定存在这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数，请说明理由。

分析：它们的差是个位与十位数字相同的两位数只能是：11、22、33、44、……、99十个数之一，即其差一定是11的倍数，所以这样的两个数必关于11同余，由抽屉原则，12个数中必有两个数被11除余数相同，即必有两个数关于11同余。

例3：求2*2*2*……*2(1998个2相乘)所得乘积的末两位数。

分析：求末两位数可以转化成求这个数(X)除以100的余数(r)，即：X≡rmod(100)，其中r是两位数。
　　 而100=4*25，所以如果找到a(a<4)、b(b<25)有：X≡amod(4)，同时X≡bmod(25)，则，r是减去a后能被4整除，减去b后能被25整除的数。
　　首先，2*2=4，所以，X≡0mod(4)，即r被4整除，r=4、8、12、……；
　　其次，发现从少到多的2相乘的余数的规律：
2≡2mod(25)；2*2≡4mod(25)；2*2*2≡8mod(25)；2*2*2*2≡16mod(25)；2*2*2*2*2≡32≡7mod(25)；2*2*2*2*2*2≡14mod(25)；……(3、6、12、24、23、21、17、9、18、11、22、19、13)；2*2*……*2(20个2相乘)≡1mod(25)。
　　即：每20个2相乘余数循环一次，1998/20余数是18，则2*2*2*……*2(1998个2相乘)/25余数为19，即r减去19后能被25整除，换言之，r加上6后能被25整除，r=19、44、69、94。
　　综上所述， r为44。

例4：求3333^5555+5555^3333被7除的余数。

分析：先求3333^5555被7除的余数：
因为3333≡1mod(7)，所以3333^5555≡1^5555≡1mod(7)。
　　再求 5555^3333被7除的余数：
因为5555≡4mod(7)，所以5555^3333≡4^3333mod(7)。
　　发现4^3≡64≡1mod(7)，则(4^3)^1111≡1mod(7)，所以
　　 5555^3333≡4^3333≡1mod(7)。
于是 3333^5555+5555^3333≡1+1≡2mod(7)。
即：3333^5555+5555^3333被7除的余数是2。

例5：一个每位数字都是3的1998位数，除以13，问商的第100位(从最高位往个位)数字是几？商的个位数字是几？最后的余数是多少？

分析： 33……3(1998个3相乘)/13的商的规律是：256410256410……，
即每六位一循环，而100≡4mod(6)，所以商的第100位是4。
　　　 33……3(1998个3相乘)/13的商为1997位（最高位空），而1997≡5mod(6)，所以商的个位数字是1。
　　　 33……3(1998个3相乘)/13的商的余数规律是：785103六位循环，而1997≡5mod(6)，所以商的最后余数是0。

例6：求形如19981998……1998(n个1998)129，且能被11整除的最小数。
分析：设 19981998……1998(n个1998)被11整除的余数是k(k可以取0，1，2，3，mod，10)，如果k129能被11整除，则19981998……1998(n个1998)129即被11整除。
　　由被11整除数的特征知：k=8。
　　下面探讨19981998……1998(n个1998)被11整除的余数规律：
因为1998≡7mod(11)、10000≡1mod(11)，所以19981998=1998*10000+1998
≡7*10000+7≡(7*1+7)mod(11)≡(7+7)mod(11)。
进而： 199819981998=1998*100000000+19981998
≡7*1+(7+7)mod(11)≡(7+7+7 )mod(11)。于是可以推知：
　　19981998……1998(n个1998)≡(7+7+……+7(n个7相加))≡7nmod(11)。经检验知：n=9时，余数k=8，所以满足条件的数是19981998……1998(9个1998)129

练习：

1。求111……11(1998个1相乘)被13除的余数。

分析：111……11(1998个1相乘)被13除的商从第三位开始，即应有1996个数，并且循环854700，余数对应循环7、6、9、0、1、11，
1996/6的余数是4，所以商循环到7，余数循环到0。

2。在1、2、3、……、1989、1990这1990个数中，至多能选出多少个数，能使这些选出的数中，任意三个数的和都是3的倍数。

分析：如果三个数的和都是3的倍数，则这三个数除以3的余数必须都是0、或都是1、或都是2。下面看1990个数中余几的最多。
1990/3的商是663，余数是1，所以最多可以取664个数。

3。求1*3*5*……*1991的末三位数。

分析：因为1000=8*125。
上数肯定能被125整除，所以末三位数是0、125、500、625、750之一；
再看8的情况：1≡1mod (8)，1*3≡1*3≡3mod(8)，1*3*5 ≡3*5≡15≡7mod(8)，……
发现的余数循环规律是：1、3、7、1四个数循环。
上数共有1992/2=996个数相乘，996/4的余数是0，所以上数被8除余数是1。即末三位数减去1能被8整除。
综上所述，1*3*5*……*1991的末三位数是625。

4。求形如19991999……1999(n个1999)178且能被11整除的最小的n。

分析：设19991999……1999(n个1999)被11整除的余数为k，则k178必能被11整除，于是k=2。
另一方面，1999≡8mod(11)，19991999=1999*10000+1999≡(8*1+8)mod(11),
……, 19991999……1999(n个1999)≡n*8mod(11),当 n=3时24≡2mod(11)，所以最小的n是3。

5。求1949^19891990被17除的余数。

分析：1949≡11mod(17)，1949^2≡121≡2mod(17)，1949^3≡22≡5mod(17)，
1949^4≡55≡4mod(17)，1949^5≡44≡10mod(17)，1949^6≡110≡8mod(17)，
1949^7≡88≡3mod(17)，1949^8≡33≡-1mod(17)，1949^16≡1mod(17)，……
所以，1949^19891990=1949^1243249*16+6=(1949^16)^1243249*1949^6
≡1* 8≡8mod(17)。